从＂曲线弦＂问题看运算策略

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1、解题研究》}．暮，II‘．』⋯篪鳓蒯孱篆摘要：在直线与圆锥曲线的综合问题中，“曲线弦”由fi熹曲线c的方程z++c：0(或者+具有代表性．多元的复杂运算常常是“曲线弦”问题的特点．问题的解决虽然有一些基本的方法，但有赖+C=0)．于较强的代数运算能力．其中，对运算方向的把握和△=B2_4Ac，-+z=一BC，Xl~2=，lABI=对运算结果的预见是能力的核心．运算的关键并不只在于面对算式之时的灵机一动，而在于各环节起始时I。一l，其中I。一l=△T．的策略．那么如何突破曲线弦问题中“想得到但算不这是解决“曲线弦”问题的基本方法，后续应该出”的

2、运算难点呢?实践与研究都表明，“使用方法求怎么做还需要由具体的问题来决定．这里所要说的精精准”、“把握方向有预见”、“规避繁难寻化解”是三种准，不仅指其中“直线的斜率是否存在”、“A、B两点有效的运算策略．是否允许重合”等细节，更主要是指运算过程中“消关键词：解析几何；圆锥曲线；运算策略元”的准确到位．例1如图1，设直线Z经Y连接曲线上两点的线段称为曲线的弦．在高中数过点P(a，0)(0>O)且与抛物线学中，“曲线弦”是直线与圆锥曲线综合的常见问题．=2x交于A、B两点，已知0虽然“曲线弦”问题千变万化，但解决方法大同小异，当直线f与轴不垂直

3、时，在这反倒使“如何运算”成为问题的关键．其中，未知轴上存在点c，使得AABC变量多、运算过程长等都是此类运算的难点，因而运为正三角形，求0的取值范围．图1算策略有着举足轻重的作用．解：设A(I)，(，AB的中点为yo)，又设C(t，0)，直线Z的方程为=my+口(m≠O)．一、使用方法求精准由my’得)，2—2my一2Ⅱ：0．一般地，设直线Z的斜率为k，直线Z与曲线c相y-交于A(Y。)，8(x：，Y)两点，设弦AB的中点为所以△=4(m+2a)，Y1+Y2：2m，yty2=一2a．(yo)，则知=华，yo=，k=．~Jf1)2yo==m，

4、从而m收稿日期：2013—09—20作者简介：昊明华(1959一)，男，浙江嘉兴人，教研员，中学高级教师，嘉兴市首批学科带头人，嘉兴市首批名师，嘉兴市第四批专业技术学科带头人，浙江省第二批名师，主要从事中学数学教学研究．2014年第3期《解题研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯l辱Tj，A．J．为△ABC为正三角形，去，得到口=一(m≠0)，从而求得最后结果．其0所以MCZAB，』cI：IJ．实这都是计划中的事情，从设直线=my+。开始，我们就把直线的变化归因于变量m，设想0=厂(m)并由由MC~AB，得且．：一1，xn—tH

5、此求出0的取值范围．因此，过程中引进的其他变量所以t=，+0+1．都是暂时的，只是为了便于相关元素的表示，并通过由I们I：v3-fA8f它们寻找到。与m的关系．，得当然，所谓预见一般都只是比较宏观、定性的把：一X／(x,-x2)2+(y,-y2)2一，握，并不是见了答案后才有的“头头是道”．例如上面提到的“口与m的关系”，在运算之前不可能知道0与~[JX／—(m2+a-—t)2+m2一X／f-X／(m：+1)"4(m2+2a)一．．m有怎样的具体关系，但可以肯定的是“n与m有关又因为+0一￡=一l，系”．这种肯定是基于逻辑的思考，是一种必然，

6、它引导着运算的方向，至于能否将“。与m的关系”显性所以1+m=3(m+1)m+2口)，地表示出来，则又是另一回事了．从而0,-1一芋(m≠o)．预见依赖于我们对问题的认知程度，有时也可以所以0

7、线段AB被直线OP平分，机都把握得恰到好处．求AAPB面积取最大值时直图2线Z的方程．二、把握方向有预见笔者不急于解答这个问题，而是想说说如何去把“曲线弦”问题中的运算与一般的代数式化简与计握运算的方向，为此先要了解与椭圆共轭直径有关的算有所不同，它首先需要解决运算从哪里开始、往何两个知识：处去的方向性问题．多数情况下，并不是盲目地“算(1)经过中心的弦都叫做椭圆的直径；出来再说”，而是有目的地算，对运算的结果也常常早(2)一组平行弦的中点轨迹是椭圆的一条直径．有所料，或者是在一定程度上“正如期待的那样”．现在请注意问题中“线段AB被直线OP

8、平分”这例如，对于抛物线=2p~(p>0)来说，若要设出个条件．设直线OP与椭圆c相交于、Ⅳ两点，则弦所在的直线方程，则一般取=my+。的形式，它与MN是椭圆c的直