圆锥曲线常用的二级结论.pdf

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1、圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论椭圆双曲线2222xyxy1ab01a0,b02222abab标准方程焦点Fc,0,Fc,0焦点Fc,0,Fc,01212PFaex,PFaexPFexa,PFexa10201020焦半径e为离心率，x为点P的横坐标.e为离心率，x为点P的横坐标.00acPFacPFac焦半径范围P为椭圆上一点，F为焦点.P为双曲线上一点，F为焦点.过焦点与长轴垂直的弦称为通径.过焦点与实轴垂直的弦称为通径.22通径2

2、b2b通径长为通径长为aa如图，直线l过焦点F与椭圆相交于A,B如图，直线l过焦点F与双曲线相交于11两点.则△ABF的周长为4a.A,B两点.则FAFBAB4a.222（即FAFBAB4a）22倾斜角为的直线l过焦点F与椭圆相交倾斜角为的直线l过焦点F与双曲线相于A,B两点.交于A,B两点.焦点弦22ab焦点弦长AB.22ab2222absinb焦点弦长AB.2222absinb最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.直线l过焦点F与椭圆相交于A,B两点，直线l过焦点F与双曲线

3、相交于A,B两点AF与BF数量关系112a112a则.，则.22AFBFbAFBFb已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，则bPOa.则POa.如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，，已知FPF，PFF，1212已知FPF，PFF，1212PFF，则21PFF，则2122b（1）Sb2tan；（1）S△PF1F2bcot；△PF1F22tan22sin焦三角形（2）离心率e.sin

4、sinsin（2）离心率e.sinsin如图，已知直线l与双曲线相交于A,B两点，点M为AB的中点，O为原点，则如图，已知直线l与椭圆相交于A,B两点2b，点M为AB的中点，O为原点，则kk.OMAB2a2bkk.OMAB2a垂径定理（注：直线l与双曲线的渐近线相交于A,B两点，其他条件不变，结论依然成立）如图，已知点A,B椭圆长轴端点（短轴端如图，已知点A,B双曲线实轴端点，P是点），P是椭圆上异于A,B的一点，双曲线上异于A,B的一点，22bb则kk.则kk.PAPB2PAPB2aa推广

5、：如图，已知点A,B是椭圆上关于原推广：如图，已知点A,B是双曲线上关于周角定理点对称的两点，P是椭圆上异于A,B的一原点对称的两点，P是双曲线上异于A,B点，若直线PA,PB的斜率存在且不为零的一点，若直线PA,PB的斜率存在且不，为零，22bbkkkk.PAPB2PAPB2aa直线l过焦点Fc,0与椭圆相交于A,B直线l过焦点Fc,0与双曲线相交于22aa两点，点P,0，A,B两点，点P,0，cc则APFBPF（即kk0）.则APFBPF（即kk0）.P

6、APBPAPB已知点Px,y是双曲线上一点，则双00已知点Px,y是椭圆上一点，则椭圆00切线方程曲线在点P处的切线方程为xxyy00在点P处的切线方程为1.xxyy22001.ab22ab双曲线的结论1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：22xy设斜率为k的直线l过定点P0,tt0，双曲线方程为1a0,b0，过点P与双曲22ab线相切时的斜率为k.0b（1）当0k时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；ab（2）当k时，

7、直线l与双曲线只有一个交点；ab（3）当kk时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；0a（4）当kk时，直线l与双曲线只有一个交点；0（5）当kk时，直线l与双曲线没有交点.022xy2．如图，Fc,0是双曲线1a0,b0的焦点，过点F作FH垂直双曲线的其中一条22ab渐近线，垂足为H，O为原点，则OHa,FHb.22xy3．点P是双曲线1a0,b0上任意一点，则点P到双曲线的渐近线的距离之积为定值22ab22ab.22ab22xy4．点P是双曲线1

8、a0,b0上任意一点，过点P作双曲线的渐近线的平行线分别与渐22abab近线相交于M,N两点，O为原点，则平行四边形OMPN的面积为定值.2抛物线的结论pp如图，抛物线方程为y2pxp0，准线x与x轴相交于点P，过焦点F,0的直线l与22抛物线相交于Ax,y，Bx,y两点，O为原点，直线l的倾斜角为.11222p