复数中的几种常用数学思想.pdf

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1、26数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第7期复数中的几种常用数学思想赵春祥(乐亭二中,河北063600)中图分类号:O122-42　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2001)07-0026-03　　复数在过去几年里一直是代数的重要内容之所以

2、z-u

3、的最大值为9+1=10,最小值为1一,涉及的知识面广,对能力要求较高,是高考热点-1=0.之一.而随着新教材对复数知识的淡化,高考试题比22xy例2设Q点为双曲线2-2=1上一动点,例下降,但由于复数问题的自身特点,它又是运用数abπ学思想方法较多的题型.本

4、文通过实例介绍几种常A(3a,0)为中心,将AQ沿顺时针方向旋转到2用的数学思想方法在复数中的应用.AP,求P点的轨迹方程.1　化归思想解　如图1,设点Q,P,A将复数问题化归为实数,或将其转化为平面直所对应的复数为zQ=x0+角坐标系下的轨迹问题,就可降低解题难度,简化解y0i,zP=x+yi,zA=3a.则向题过程.反过来,有时将实数、几何问题、三角题化归_量AP对应的复数为zA_P=(x为复数问题,也可使问题迎刃而解.-3a)+yi,例1已知复数z满足

5、z-3-5i

6、=1,复数u_图1　例2图满足

7、u-1

8、+

9、u-5

10、=45,求

11、z

12、-u

13、的最值.向量AQ对应的复数为解　椭圆

14、u-1

15、+

16、u-5

17、=45的中心坐标是zA_Q=(x0-3a)+y0i.(3,0),a=25,c=2,b=4.故椭圆的直角坐标方程_π由向量AQ绕定点A按顺时针方向旋转而得222(x-3)y为+=1.对此进行参数化,令__2016到AP,得zAQ(-i)=zA_P.x=3+25cosθ,即(x0-3a+y0i)·(-i)=x-3a+yi.(θ为参数)y=4sinθ.由复数相等定义得点(3+25cosθ,4sinθ)到圆心(3,5)的距离为:x0=3a-y,d=(25cosθ)2+(4sinθ-5

18、)2y0=x-3a.2而点(x0,y0)在双曲线上,可知点P的轨迹方=-4sinθ-40sinθ+4522(y-3a)(x-3a)=-4(sinθ+5)2+145.程为2-2=1.ab当sinθ=-1及sinθ=1时分别得出d的最大2　分类讨论思想值与最小值:dmax=9,dmin=1.分类讨论是一种重要的解题策略和方法,在复收稿日期:2000-12-07作者简介:赵春祥(1955—),男,河北乐亭人,河北乐亭二中特级教师,学士.2001年第7期　　　　　　　　　　　　　数学通讯27数中它能使复杂的问题简单化,从而化整为零,各个形式或三角

19、形式解题,常常会给解题带来繁琐的运击破.高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想算或解题思路受阻.因此,在复数学习中,有必要根方法.据条件与待求结论的特点,通过研究问题的整体形2式、整体结构或作某些整体处理,这样往往能避繁就例3在复数集C中解方程z+2

20、z

21、=a.解　∵z2=a-2

22、z

23、∈R,简,化难为易,迅速简捷地求解.∴z为实数或纯虚数.例5设z∈C,a≥0,解方程z

24、z

25、+az+i=1)若z∈R,则原方程化为0.

26、z

27、2+2

28、z

29、-a=0,1解　原方程变形为z=-i,

30、z

31、+a∴z=±(-1+1+a)(a≥0).1∵-∈R,2)若z为

32、纯虚数,设z=yi(y∈R且y≠0),

33、z

34、+a2∴z为纯虚数,且z的虚部为负数,故直接用则原方程化为

35、y

36、-2

37、y

38、+a=0.

39、z

40、表示,两边取模,得当a=0时,

41、y

42、=2,即z=±2i;12当0

43、y

44、=1±1-a,

45、z

46、=,即

47、z

48、+a

49、z

50、-1=0,

51、z

52、+a∴z=(-1±1-a)i或z=(1±1-a)i.-a+a2+4解得

53、z

54、=或当a>1时,方程无实数解,即此时原方程无纯22虚数解.

55、z

56、=-a-a+4(舍),22例4设z=cosθ+isinθ(0<θ<2π),P=z+2a-a+4∴z=i.z+1,求argP.2解P

57、=z2+z+1=(cos2θ+cosθ+1)+例6已知复数z满足等式

58、z-i

59、=1,且z≠i(sin2θ+sinθ)0,z≠2i,又复数w使得w·z-2i为实数,问复w-2iz2=(2cosθ+cosθ)+i(2sinθcosθ+sinθ)数w在复平面上所对应的点z的集合是什么图形,=(2cosθ+1)(cosθ+isinθ).并说明理由.先就2cosθ+1决定模长,分类讨论.wz-2i解　∵·∈R,2π4πw-2iz1)当0<θ<或<θ<2π时,2cosθ+1>33wz-2iwz-2i∴·=·,0,复数P的三角形式为w-2izw-2iz

60、wz+2iwz-2iP=(2cosθ+1)(cosθ+isinθ),∴·=·,w+2izw-2iz此时argP=θ.w(w-2i)z(z-2i)整理,得=,2π4πw(w+2i)z(z+2i)