离散数学图论部分综合练习辅导

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1、离散数学图论部分综合练习辅导本次活动是本学期的第二次活动(2008.11.18)，主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解一些典型的综合练习题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法。图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。本次综合练习主要是复习这一部分的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类

2、型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习。下面分别讲解。一、单项选择题1．设图G的邻接矩阵为0010000011100000100101010则G的边数为()．A．5B．6C．3D．4正确答案：D上学期的作业中，有的同学选择答案B。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义：定义3.3.1设G=是一个简单图，其中V={v1，v2，…，vn}，则n阶方阵A（G）

3、=（aij）称为G的邻接矩阵．其中各元素1v与v相邻ijaij0vi与vj不相邻或ij而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有82=4条边。2．设图G＝，则下列结论成立的是()．A．deg(V)=2EB．deg(V)=EC．deg(v)2ED．deg(v)EvVvV正确答案：C1该题

4、主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理：定理3.1.1设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则deg(v)2

5、E

6、vV3．图G如右图所示，以下说法正确的是()．abA．{(a,d)}是割边B．{(a,d)}是边割集dfC．{(d,e)}是边割集D．{(a,d),(a,c)}是边割集正确答案：Cce上学期许多同学选择答案A。主要是对割边、边割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义：定义3.2.9设无向图G=为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有

7、边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）如果答案A正确，即删除边(a,d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。4．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=()．A．e－v＋2B．v＋e－2C．e－v－2D．e＋v＋2正确答案：A该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。定理4.3.2（欧拉定理）设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则下

8、列欧拉公式成立．v-e+r=25．无向图G存在欧拉通路，当且仅当()．A．G中所有结点的度数全为偶数B．G中至多有两个奇数度结点C．G连通且所有结点的度数全为偶数D．G连通且至多有两个奇数度结点正确答案：D上学期许多同学选择答案C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理4.1.1进行选择，才是正确的。复习定义和定理：定义4.1.1给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路；若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，在该回路称为欧拉回路；

9、……定理4.1.1无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个2或2个奇数度数的结点．推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．所以，正确答案应该是D．6．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的()条边，才能确定G的一棵生成树．A．mn1B．mnC．mn1D．nm1正确答案：A上学期许多同学选择答案D。主要是把定理5.1.1给出的图T为树的等价定义之一是图T连通且e=v-1中的公式用错了．大家只要把m代入公式e=v-1中的e，把n代

10、入公式e=v-1中的v，可以知道答案A是正确。定理5.1.1给定图T，则以下关于图T为树的定义等价．（1）无回路的连通图．（2）无回路且e=v-1，其中e是边数，v是顶点数．（3）连通且e=v-1．（4）无回路，但增加任一新边，得到且仅得到一个回路．（5）连通，但删去任一边后图便不连通．（v≥2）（6）每一对顶点之间有且仅有一条路．（v≥2）定理5.1.1的六个等价定义，大家应该熟记的．最主要的是：无向简单图G是棵树，当且仅当G连通且边数比结点数少1．二、填空题1．已