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时间:2018-10-03
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1、离散数学图论部分综合练习辅导本次活动是本学期的第二次活动(2008.11.18),主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导,方式是通过讲解一些典型的综合练习题目,帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法。图论作为离散数学的一部分,主要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。本次综合练习主要是复习这一部分的主要概念与计算方法,与集合论一样,也安排了五种类型,有单项选择题、填空题
2、,判断说明题、计算题、证明题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型,能够较好地完成这一部分主要内容的学习。下面分别讲解。一、单项选择题1.设图G的邻接矩阵为则G的边数为().A.5B.6C.3D.4正确答案:D上学期的作业中,有的同学选择答案B。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义:定义3.3.1设G=是一个简单图,其中V={v1,v2,…,vn},则n阶方阵A(G)=(aij)称为G的邻接矩阵.其中各元素而当给定的简单图是无向图时,邻接矩阵为对称的.即当结点vi与vj相邻时,结点vj与vi也相
3、邻,所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1,题中给出的邻接矩阵中共有8个1,故有8¸2=4条边。2.设图G=,则下列结论成立的是().A.deg(V)=2½E½B.deg(V)=½E½C.D.正确答案:C8该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理:定理3.1.1设G是一个图,其结点集合为V,边集合为E,则ooooocabedof3.图G如右图所示,以下说法正确的是().A.{(a,d)}是割边B.{(a,d)}是边割集C.{(d,e)}是边割集D.{(a,d
4、),(a,c)}是边割集正确答案:C上学期许多同学选择答案A。主要是对割边、边割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义:定义3.2.9设无向图G=为连通图,若有边集E1ÌE,使图G删除了E1的所有边后,所得的子图是不连通图,而删除了E1的任何真子集后,所得的子图是连通图,则称E1是G的一个边割集.若某个边构成一个边割集,则称该边为割边(或桥)如果答案A正确,即删除边(a,d)后,得到的图是不连通图,但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。4.设G是连通平面图,有v个结点,e条边,r个面,则r=().A.e-
5、v+2B.v+e-2C.e-v-2D.e+v+2正确答案:A该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。定理4.3.2(欧拉定理)设连通平面图G的结点数为v,边数为e,面数为r,则下列欧拉公式成立.v-e+r=25.无向图G存在欧拉通路,当且仅当().A.G中所有结点的度数全为偶数B.G中至多有两个奇数度结点C.G连通且所有结点的度数全为偶数D.G连通且至多有两个奇数度结点正确答案:D上学期许多同学选择答案C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理4.1.1进行选择,才是正确的。复习定义和定理
6、:定义4.1.1给定无孤立结点图G,若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次,则该路称为欧拉路;若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次,在该回路称为欧拉回路;……定理4.1.1无向图G具有一条欧拉路,当且仅当G8是连通的,且有零个或2个奇数度数的结点.推论一个无向图具有一条欧拉回路,当且仅当该图是连通的,并且它的结点度数都是偶数.所以,正确答案应该是D.6.设G是有n个结点,m条边的连通图,必须删去G的()条边,才能确定G的一棵生成树.A.B.C.D.正确答案:A上学期许多同学选择答案D。主要是把定理5.1.1给出的图
7、T为树的等价定义之一是图T连通且e=v-1中的公式用错了.大家只要把m代入公式e=v-1中的e,把n代入公式e=v-1中的v,可以知道答案A是正确。定理5.1.1给定图T,则以下关于图T为树的定义等价.(1)无回路的连通图.(2)无回路且e=v-1,其中e是边数,v是顶点数.(3)连通且e=v-1.(4)无回路,但增加任一新边,得到且仅得到一个回路.(5)连通,但删去任一边后图便不连通.(v≥2)(6)每一对顶点之间有且仅有一条路.(v≥2)定理5.1.1的六个等价定义,大家应该熟记的.最主要的是:无向简单图G是棵树,当且
8、仅当G连通且边数比结点数少1.二、填空题1.已知图G中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G的边数是.应该填写:15主要检查大家对握手定理掌握的情况。定理3.1.1(握手定理)设G是一个图,其结点集合为V,边集合为E,则ooooocabedof因为图G中有1个1度结点,2个2度结
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