2020版高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法课件新人教A版.pptx

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1、第二讲证明不等式的基本方法一比较法1.理解作差比较法和作商比较法.2.用比较法证明不等式.1231.比较法的种类比较法一般分为两种:作差比较法和作商比较法.1232.作差比较法(1)作差比较法的证明依据:①ab⇔a-b>0.(2)基本步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.归纳总结用作差比较法证明不等式时,要判断不等式两边差的符号,对不等式两边求差后,要通过配方、因式分解、通分等,对所得代数式进行变形,得到一个能够明显看得出其符号的代数式,进而得出证明.123【做一做

2、1-1】当ab2.而函数y=lgx(x>0)为增函数,∴lgb2Q>RB.P>R>QC.Q>P>RD.Q>R>P123(2)基本步骤:①作商;②变形;③判断与“1”的大小;④下结论.123答案:>121.作差比较法证明不等式的一般步骤剖析(1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差.(2)变形:将差式进行变形,变形

3、为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方和等.(3)判断符号:根据已知条件与上述变形结果,判断差的正负号.(4)结论:根据差的正负号下结论.知识拓展若差式的符号不能确定,一般是与某些字母的取值有关时,则需对这些字母进行讨论.122.作商比较法中的符号问题的确定b

4、相减后,可判断差的符号,故可用作差比较法进行证明.题型一题型二题型三反思根据左、右两边都含无理式的特点,也可以采取两边平方的方法来比较,但是应先判断不等式两边的符号,当不等式两边都大于0时,两边平方是等价变形,当不等式两边都小于0时,两边平方后要改变不等号的方向.题型一题型二题型三分析：将商的对数化成对数的差,就是“化整为零”,有利于符号的确定.题型一题型二题型三分析：因为a,b均为正数,所以不等式左边和右边都是正数,故可以用作商比较法进行比较.题型一题型二题型三又a2+b2≥2ab,题型一题型二题型三证明:∵a>0

5、,b>0,∴A>0,B>0.当且仅当a=b时,等号成立.∴A≥B.题型一题型二题型三【例3】已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+).(1)证明：数列{an+1}是等比数列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1),并比较2f'(1)与23n2-13n的大小.分析：在比较大小时,作差法的差式与“n”的取值有关,且大小关系随“n”的变化而变化.题型一题型二题型三(1)证明:∵Sn+1=2Sn+n+5,①∴当n≥2时,Sn=

6、2Sn-1+n+4,②①②两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1).当n=1时,S2=2S1+1+5,∴a1+a2=2a1+6.又a1=5,∴a2=11,从而a2+1=2(a1+1).故总有an+1+1=2(an+1),n∈N+.题型一题型二题型三(2)解:由(1)可知an=3×2n-1.∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,∴f'(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.从而f'(1)=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×2

7、2-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+3+…+n)题型一题型二题型三则2f'(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)[2n-(2n+1)].(*)当n=1时,(*)式=0,∴2f'(1)=23n2-13n;当n=2时,(*)式=-12<0,∴2f'(1)<23n2-13n;当n≥3时,n-1>0.令f(n)=2n-(2n+1),则f'(n)=2nln2-2,此时f'(n)>0.又

8、f(3)>0,∴当n≥3时,2n>2n+1.∴(n-1)[2n-(2n+1)]>0,即(*)式>0,从而2f'(1)>23n2-13n.题型一题型二题型三反思此类比较大小的题目是典型的结论不唯一的题目.在数列中,大小问题可能会随“n”的变化而变化.往往n=1,2,…,前几个自然数对应的值与后面n≥n0的值大小不一样,这就要求在解答这样的题目时,