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时间:2020-04-01
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1、导数和初等微积分一、相关定义。1、导函数:若函数fx()在定义域任意一点可导,那么fx()的导函数存在,记为fx'()。2、函数微分:若函数yfx()在点x处存在导数fx'(),那么函数微分记为dyfxdx'(),这里dxdy是指自变量x的微分,dy因变量y的微分,由于微分这个关系式,所以导数fx'(),因此,dxdy也经常用表示函数的微分,这样意义更明确,它指明了是y对x求导数。dx3、定积分的定义,参考教材。二、微积分的相关性质。1、微分性质(了解,不需要掌握):(1)线性性质:d[fx()
2、gx()]fxdx'()gxdx'()(2)dfxgx[()()]gxdfx()[()]fxdgx()[()]fxgxdx'()()fxgxdx()'()fx()gxdfx()[()]fxdgx()[()]fxgxdx'()()fxgxdx()'()d[]22gx()[()]gx[()]gx(3)若复合函数yfu(),ufx(),那么dyfudu'()fufxdx'()'()2、由微分性质可以得到导数性质(用另外的形式表示导数):d[fx()gx()](1)线性性质:
3、fx'()gx'()dxdfxgx[()()]gxdfx()[()]fxdgx()[()](2)fxgx'()()fxgx()'()dxdxfx()gxdfx()[()]fxdgx()[()]d[]2gx()[()]gxfxgx'()()fxgx()'()2dxdx[()]gxdydydu(3)若复合函数yfu(),ufx(),那么fudu'()fufx'()'()dxdudxdydydudy从,可知,du可以直接从分子分母约去,所以用表示导数,意义明显。dxdud
4、xdxxft()dydft[()]ftdt'()ft'()(4)参数方程求导:若参数方程为,则。ygt()dxdgt[()]gtdt'()gt'()3、定积分性质:bbb1、定积分是一个常数..,与积分变量无关,也就是afxdx()afydy()afudu()…2、牛顿-莱布尼兹公式:设Fx()在区间[,]ab都存在导函数Fx'()fx(),并且导函数连续,b那么fxdx()Fb()Fa()。abbb3、线性性质:a[fx()gxdx()]afxdx()
5、agxdx(),这里,都是常数。bbc4、若函数fx()在积分区间连续,那么afxdx()cfxdx()afxdx()。5、若函数fx()在[,]ab连续,函数xt()在[,]是单值,且有连续导数,且有()a,b()b,则有fxdx()f[()]'()ttdt,事实上,就是把xt(),dx'()tdt(这a个是微分定义)代入,然后换积分变量而已。这个定理了解即可,不需要掌握。三、导数,微分,定积分相关计算。dy1、利用微分方法求函数导数(这部分内容了
6、解一下即可):求下面函数的导数。dx2222x(xx2)(3)(1)xy1;(2)xy23xy;(3)yx;(4)y。34(xx1)(4)解:第(1)和(2)这样的函数,y没有给出具体式,这种函数称为“隐函数”,用微分方法可以求解它们的导数。第(3)和(4)虽然给出y表达式,但是直接求导数比较困难,可以先两边取对数,变成“隐函数”,然后求导。2222dyx(1)xy1,微分,得dx()dy()0,所以2xdx2ydy0,dxy22常数的微分是0,根据微分定义dyfx
7、dx'()可得dy()(y)'dy2ydy。22(2)xy23xy,微分,得dxy()d(2)xdy()0,所以dyy2ydxxdy2dx2ydy0(y2)dx(x2)ydy0。dxx2y根据微分关系式:dfxgx[()()]fxgxdx'()()fxgxdx()'(),所以dxy()()'xydxxydy()'ydxxdy。xx(3)yx,两边取对数,得lnylnxxlnx,所以两边微分,得d(ln)ydx(ln)x,1dyx所以dy()
8、'lnxxdxx(ln)'xdx(lnx1)dxy(lnx1),把yx代入,ydxdyx得y(lnx1)x(lnx1)。dx2(xx2)(3)(4)y,两边取对数得lny2ln(x2)ln(x3)3ln(x1)4ln(x4),34(xx1)(4)12134微分,得dy()dx,所以可求得yx2x3x1x42dy2134(x2)(x3)2134y
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