理想气体Cp-Cv与温度的关系.pdf

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1、实际气体CC与温度的关系pv刘畅(pb09206024)June26,20111一一一般般般情情情况况况的的的推推推导导导对于任意气体，由定义可知C=(@U),C=(@H)，由此定义可以求出任意情况下V;m@TVp;m@Tp的等压热容与等容热容之差的函数关系：()()()()()@H@U@(pV)@U@VCp==+=+p(1)@T@T@T@T@Tppppp()而式中@U可如下求得@Tp()()()@U@U@U∵dU=dT+dV=CvdT+dV(2)@T@V@VVTT()()()@U@U@V)=Cv+(3)@T@V@

2、TpTp合并(1)和(3)可得(())()@U@VCpCV=+p(4)@V@TTp式4及为CpCV的(一般)表达式。由于在推导中没有进行任何近似，所以是普适的(。)在式4中，除了@U之外都为由可测量组成的表达式，所以下面的任务是把@U转变成@VT@VT可测量。()()()@U@(A+TS)@p==p+T(5)@V@V@TTTV将式5代入4可得()()@p@VCpCV=T(6)@T@TVp经过如上推导，就将CpCV的普适表达式中的全部量都变成了可以测量的量。从式6代入不同的状态方程就可以讨论不同实际气体的情况。

3、2VandeWaals气气气体体体的的的情情情况况况范氏气体的方程为(p+a)(Vb)=RT,这个状态方程有很好的实用性，而且物理意义V2明显，求解这个方程可以解出CpCV的情况：这里实际指的是C，后面的V也是一样的。p;mCV;m12.1不不不近近近似似似时时时的的的情情情况况况若不做任何近似，则需要反解出p和V关于另外两个变量的表达式，然后进行偏微分，在计算他们的乘积来求出CpCV，对于p容易求出RTV2aV+abp=(7)V3bV2对T偏微分可得：()@pR=(8)@TVbV这样,CpCV的表达

4、式就被化简为()RT@VCpCV=(9)Vb@Tp但是对于V的求解则没有那么容易，因为这是一个三次方程，求根公式比较复杂，虽然可以求出1：V=R2T22bpRTb2p2+3ap(p)13a(4bR3T3+(12b2pa)R2T2+(12b3p220abp)RT+4b4p3+8ab2p2+4a2p)2R3T3+6bpR2T2+a(18bp29pRT)+6b2p2RT+2b3p39p2+354p3p232p2a(4bR3T3+(12b2pa)R2T2+(12b3p220abp)RT+4b4p3+8ab

5、2p2+4a2p)+(3232p22R3T3+6bpR2T2+a(18bp29pRT)+6b2p2RT+2b3p31RT+bp+3)3+54p3p很明显，对于这样复杂的式子在做偏微分已经没有任何意义，所以需要对于不同的情况进行近似处理。2.2对对对范范范氏氏氏方方方程程程近近近似似似处处处理理理2.2.1高高高温温温情情情况况况在高温情况下，气体的热运动十分剧烈，以至于分子间的引力作用可以忽略不计，反映在范氏方程上，即可以忽略引力修正项a的影响。范氏方程变为p(Vb)=RT。这样可以V2解出：RTV=+b(10)p

6、从而()@VR=(11)@Tpp将(10)和(11)带入(9)得R2TCpCV==R(12)p(Vb)由式12在高温情况下，CpCV的大小与理想气体相同为R，这个和常识是相符的。1这个公式是用Maxima推出的.22.2.2低低低压压压情情情况况况对于低压情况，分子间距离很大，所以体积修正项可以忽略不计，因此范氏方程就变成了(p+a)V=RT，由此可解出：V@√R2T24ap+RTV=(13)2p从而()pR2T+R@VR2T24ap=(14)@T2pp将(14)和(13)带入(9)可得()pR2TRT+RR

7、2T24apCpCV=(p)(15)R2T24ap+RT2pb2p对于式(15)容易计算，T!1;CpCV!R，但在较低温度下，则会随着时间有明显的变化，具体变化趋势可以用下图表示：Figure1:CO2在10pa情况下的CpCV随温度的变化如图1所示，在低温部分，CpCV与理想气体有较大的偏差，而当温度较高是，则趋近于R。综上所述，在高温情况下时，VandeWaals气体的CpCV与理想气体较为接近，但是当温度较低是，即使在低压条件下也与理想气体的数值有很大的偏差。所以，对于范氏气体，温度对这个差值其

8、决定性作用。3