曲线曲面造型基础

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1、第5章曲线曲面造型基础自由曲线部分主要内容：5.1认识曲线与曲面5.2曲面造型的发展历程5.3曲线曲面的参数表达5.4Bezier曲线5.5B样条曲线5.6NURBS曲线工程中的曲线曲面曲线曲面分类早期船舶设计用样条一类：初等解析曲面(例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等)组成，大多数机械零件属于这一类，可用画法几何与机械制图方法清楚表达和传递所包含的全部形状信息。二类：自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，成为工程

2、师们首要解决的问题。人们一直在寻求用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状。曲线曲面主要研究内容曲面造型(SurfaceModeling)是计算机辅助几何设计(ComputerAidedGeometricDesign,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲线曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(RationalB-splineSurface)为基础的参数化特征设计和隐式代

3、数曲面(ImplicitAlgebraicSurface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。主要内容：5.1认识曲线与曲面5.2曲面造型的发展历程5.3曲线曲面的参数表达5.4Bezier曲线5.5B样条曲线5.6NURBS曲线5.2曲线曲面发展历程•数学上曲线常见以多项式表达为主（Polynomialequations）x(u)323iP(u)y(u)a0a1ua2ua3uaiui0z(u)a,a,a,a为矢量系数0123•问题：没有

4、明显几何意义，系数变化与曲线没有直观关系5.2曲线曲面发展历程aP00aaaaP01231aP10a2a3aPP0x(u)1231P231P(u)y(u)a0a1ua2ua3uP(u)F0(u)F1(u)G0(u)G1(u)P0z(u)P1•1963年美国波音飞机公司的弗格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向切矢定义的弗格森双三次曲面片。Q11P0’Q01Q0’Q1P1Q0vP(u)

5、F(u)F(u)G(u)G(u)t=Q010101P0t=1P1QuQ1000图Ferguson曲线图Ferguson曲面5.2曲线曲面发展历程Ferguson曲面问题：角点平坦（Flatspots）0000•1964年，MIT孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面(增加扭矢控制)。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。Coons曲面问题：中间形状控制能力不足5.2曲线曲面发展历程•1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。

6、nP(u)PiBi,n(u)i0mnP(u,v)Pi,jBi,n(u)Bj,m(v)j0i0•1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。Ni，Ni+1，Ni+2，Ni+3，33331若tiuti1（u）（u）（u）（u）Ni,0(u)0其它ttttttttiiiiiiii＋＋＋＋＋＋＋u011012013014015016017(ut)N(u)(tu)N(u)ii,k1ik1i1,k1N(u)k0i,k

7、ttttikiik1i10/00nC(u)PN(u)ii,ki05.2曲线曲面发展历程•1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。•80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。1若tutii1Ni,0(u)0其它(ut)N(u)(tu)N(u)ii,k1ik1i1,k1N(u)k0i,kttttikii

8、k1i10/0