圣彼得堡悖论的产生与解决-罗逸姝

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1、圣彼得堡悖论的产生与解决罗逸姝201241025一．故事背景设定掷出硬币的正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成n功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第n次投掷成功，得奖金2，游戏结束。问：应先付多少钱才能使游戏公平？二．悖论产生设事件{前k-1次失败，第k次成功}为事件{X=k}，则1kk111PX{k}()()222获得的奖金数为W，则W的分布列为：X=k123…k…nW248…2kn…2P11213…1k…1n(

2、)()()()22222根据数学期望最大法，所获奖金的期望：121n1EW()22...2n2n222当n趋于无穷时，虽然获得大额奖金的概率很小，但由于奖金数目很大，所获奖金的期望依然很大，即：lim()EWn不确定性下的决策原则之一是数学期望最大化原则，如果采用此原则对游戏入场费进行定价，则将入场费定为无限大才是公平的。但应用到实际则出现了矛盾：（1）根据辛钦大数定律，当试验次数n接近无限大时，样本均值接近于总体期望。但实际的投掷结果表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。（2）调查结果则显示，人们愿意

3、付出的金额在2-3元之间。三．消解历史边际效用递减论DanielBernoulli认为游戏的期望值计算不应该是金钱，而应该是金钱的期望效用，应用“期望效用递减律”，将金钱的效用测度函数用货币值的对数来表示：效用U=log（货币值）。k即UlogWlog2k新的分布列为：U12…k…nP112…1k…1n()()()2222nk3效用期望EU()kn2k122当n趋于无穷时，期望值lim()EU2，因此，将入场费用定位2元是公平的。n这一解释虽然符合实际情况，但仍有漏洞。如果把奖金额变动一下，将奖金额提高为2n10，

4、则其效用的期望值仍为无穷大。只要按照效用的2n倍增加奖金，悖论就总是存在。风险厌恶论圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制，但出现高额奖金的概率极小，如果花较高的入场费用去参与游戏，虽然有的大奖的机会，但是风险太大。因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。Pual.Weirich就提出在期望值计算中加入一种风险厌恶因子，并得出了游戏费用的有限期望值。这种方法仍然存在不合理之处。首先，并非所有人都是风险厌恶的，相反有很多人喜欢冒险。风险厌恶的观点很难解释清楚实际游戏平均值非常有限的问题。其次，即便承认风险厌恶的观点，矛盾仍然不能消除。我

5、们仍然可以调整奖金额，最后，考虑风险厌恶情况的期望值仍然是无穷大而与实际情况不符。此外，提出解决此悖论的假说还有效用上限论和结果有限论，但同样由于存在纰漏而未能解决问题。四．最终消解圣彼得堡悖论的根源在于，样本均值与总体均值的差异，以及我们对于“无穷大”的理解。根据伯努利大数定律，当样本容量n趋近于无穷时，样本均值依概率收敛于其期望值。但这里的“无穷”，我们平时的“大小”概念已经不能适用了。涉及无穷大概念比较的时候，就需要用相应的比较方法。圣彼得堡游戏的结果集合是一个无穷集合，而实际实验的样本是一个有穷集合，它们是不能用现有的办法比较的

6、。因此，这一悖论的出现并非是由于我们的计算方法的缺陷。我们需要承认它的期望值是无穷大；而实际上它的均值又不可能是无穷大，由于试验次数没有办法达到真正意义上的“无穷大”，它们之间的差异是必然存在的。利用电脑进行模拟试验的结果说明，实际试验的平均值——样本均值是随着实验次数的增加而变化的。在大量实验以后，其试验均值X可以近似表示为X≈logn/log2，可见当实验次数趋向无穷大的时候，样本均值也趋向无穷大。比如100万即106次实验的平均值约等于6/0.301=19.9，即20元左右；要样本均值达到1000元，实验次数就要达到10332，这

7、时候有可能出现的最高投掷次数约为1000次左右，相应的最高赔付金额已经达到了天文数字。参考文献[1]百度百科.圣彼得堡悖论_百度百科[EB/OL].[2014-3-8].http://baike.baidu.com/view/1163899.htm.[2]圣才学习网.博弈论：圣彼得堡悖论[EB/OL].[2012-12-26].http://jr.100xuexi.com/view/otdetail/20121213/27e15cd9-633c-4dcd-8348-6fb6ede19888.html.