递推数列求通项公式的精品习题.doc

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1、高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。类型1解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列满足,,求。变式:已知数列,且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….(I)求a3,a5;(II)求{an}的通项公式.类型2解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘

2、法)求解。例1:已知数列满足,,求。17例2:已知,,求。变式:(2011,全国I,理15.)已知数列{an},满足a1=1,(n≥2),则{an}的通项类型3(其中p,q均为常数,)。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例1:已知数列中,,,求.17变式:(2011,重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项_______________变式:(2010.福建.理22.本小题满分14分)已知数列满足(I)求数列的通项公式;(II)若数列{bn}滿足证明:数列{bn}

3、是等差数列;(Ⅲ)证明:17类型4(其中p,q均为常数,)。(或,其中p,q,r均为常数)。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。例1:已知数列中,,,求。变式:(2011,全国I,理,本小题满分12分)设数列的前项的和,(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明:17类型5递推公式为(其中p,q均为常数)。解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为其中s,t满足解法二(特征根法):对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列

4、的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。解法一(待定系数——迭加法):数列:,,求数列的通项公式。例:已知数列中,,,,求。17变式:1.已知数列满足(I)证明:数列是等比数列;(II)求数列的通项公式;(III)若数列满足证明是等差数列2.已知数列中,,,,求173.已知数列中,是其前项和,并且,⑴设数列,求证:数列是等比数列;⑵设数列,求证:数列是等差数列;⑶求数列的通项公式及前项和。类型6递推公式为与的

5、关系式。(或)解法:这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例:已知数列前n项和.(1)求与的关系;(2)求通项公式.17变式:(2011,陕西,理,本小题满分12分)已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an变式:(2010,江西,文.本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3求数列{an}的通项公式.17类型7解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比

6、为的等比数列。例:设数列:,求.变式:(2006,山东,文,22,本小题满分14分)已知数列{}中,在直线y=x上,其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在试求出不存在,则说明理由.17类型8解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为,再利用待定系数法求解。例:已知数列{}中,,求数列变式:(2011,江西,理,21.本小题满分12分)已知数列(1)证明(2)求数列的通项公式an.17变式:(2010,山东,理,22,本小题满分14分)已知a1=2,点(

7、an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;记bn=,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1类型9解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例:已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式。17变式:(2011,江西,理,本大题满分14分)1.已知数列{an}满足:a1=,且an=(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不

8、等式a1·a2·……an<2·n!2、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。3、已知数列{}满足时,,求通项公式。174、已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式。5、若数列{a}中,a=1,a=n∈N,求通项a.17类型10解法:如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是

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