最小二乘法多项式拟合.doc

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1、最小二乘法多项式拟合对于给定的数据点，可用下面的n阶多项式进行拟合，即为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差都较小。为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式的方法即为最小二乘法多项式拟合。确定上述多项式的过程也就是确定中的系数的过程，根据最小二乘原则，则偏差平方和应该是这些系数的函数，即为使上式取值最小，则其关于的一阶导数应该为零，即有将上面各等式写成方程组的形式可有写成矩阵形式有上述方程组可以通过克莱姆法则来计算，从而解出各系数得到拟合方程。考虑到

2、一般情况提高拟合多项式的阶数并不能提高拟合精度，所以常用的多项拟合阶数为一阶和二阶，即线性拟合和二次拟合。两者的计算公式如下：关于线性拟合，除上面按克莱姆法则来计算外，还可以有另一思路，下面对此进行说明。由于是线性拟合，最后得到的是一条直线，因此，直线可以由斜率和截距两个参数来确定，因此，求出这两个参数即可。首先对克莱姆法的求解结果进行展开可以得到下面考虑先计算斜率再计算截距的方法，从下图可见，斜率计算与坐标系的位置无关，所以可以将坐标原点平移到样本的和坐标的均值所在点上图中则在新的坐标系下斜率的计算公式与前面的计算公式相同，将其中的坐标换成即

3、可得到下面的计算公式由样本在新坐标系下的坐标和的均值为零，或者由下面推导可知则斜率的计算公式可以简化为还原为原坐标有下面推导截距的计算公式这样可以得到两组计算公式，分别如下或