知识讲解-《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理).doc

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1、《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1.会利用导数解决曲线的切线的问题.2.会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3.会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4.能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值.要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数在区间（a，b）内可导，（1

2、）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数.要点诠释：（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则.（2）或恒成立，求参数值的范围的方法：①分离参数法：或.②若不能隔离参数，就是求含参函数的最小值，使.（或是求含参函数的最大值，使）要点三：函数极值、最值的问题函数极值的问题（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个

3、根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值.函数最值的问题若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内所有使的的点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，

4、不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式；(2)求函数的导数，解方程；(

5、3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案②得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只

6、有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．要点五：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上取点，作和式：．当时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记作：，即．要点诠释：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时），记为，而不是．(2)定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称

7、为积分形式的不变性），另外定积分与积分区间[，]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同．要点六：定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图a中的阴影部分)的面积.要点诠释：（1）当时，由、=、=与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，积分在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以，即，如图（b）．（2）当在区间[，]上有正有负时，积分在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（轴上方面积取正号，轴下方面积取负号）．在如图（c）所示的图象中，定积分．要点七

8、：定积分的运算性质性质1：；性质2：；性质3：定积分