正弦函数余弦函数的性质.doc

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1、正弦函数余弦函数的性质教学目标1．掌握y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点)2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点)3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点)[基础·初探]教材整理1　函数的周期性阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题．1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小

2、正数就叫做f(x)的最小正周期．2．两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．函数y＝2cosx＋5的最小正周期是________．第22页共22页解：函数y＝2cosx＋5的最小正周期为T＝2π.【答案】　2π教材整理2　正、余弦函数的奇偶性阅读教材P37“思考”以下至P37第14行以上内容，完成下列问题．1．对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．2．对于y＝cosx，x∈R

3、恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．判断函数f(x)＝sin的奇偶性．解：因为f(x)＝sin＝－cos2x.且f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．教材整理3　正、余弦函数的图象和性质阅读教材P37～P38“例3”以上内容，完成下列问题．函数名称图象与性质性质分类y＝sinxy＝cosx相同处定义域RR值域[－1，1][－1，1]周期性最小正周期为2π最小正周期为2π第22页共22页不同处图象奇偶性奇函数偶函数单调性在(k∈Z)上是增函数；在(k∈Z)上是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上

4、是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上减函数对称轴x＝kπ＋(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)对称中心(kπ，0)，(k∈Z)(k∈Z)最值x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ时，ymax＝1；x＝2kπ＋π时，ymin＝－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin＝sin，则是函数y＝sinx第22页共22页的一个周期．(　　)(2)函数y＝sinx在第一象限内是增函数．(　　)(3)余弦函数y＝cosx是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条．(　　)(4)余弦函数y＝cosx的图象是轴对称图形，也是中心对称图形

5、．(　　)解：(1)×.因为对任意x，sin与sinx并不一定相等．(2)×.y＝sinx的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表示．(3)√.由余弦函数图象可知正确．(4)√.由余弦函数图象可知正确．【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√[小组合作型]三角函数的周期问题及简单应用　(1)下列函数是以π为最小正周期的函数是(　　)A．y＝sinxB．y＝sinx＋2C．y＝cos2x＋2D．y＝cos3x－1(2)函数y＝sin的最小正周期为________．(3)求函数y＝

6、sinx

7、的最小正周期．(1)(2)利用周期定义或公式T＝.(3)利用图象求解．第22页共22页解：(

8、1)y＝sinx及y＝sinx＋2的最小正周期为2π，y＝cos2x＋2的最小正周期为π，y＝cos3x－1的最小正周期为，所以选C．(2)法一：y＝sin＝sin＝sin，所以最小正周期为π.法二：因为函数y＝sin中ω＝2，所以其最小正周期T＝＝＝π.【答案】　(1)C　(2)π(3)作函数y＝

9、sinx

10、的简图如下：由图象可知y＝

11、sinx

12、的最小正周期为π.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．[

13、再练一题]1．求下列三角函数的周期：第22页共22页(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；(3)y＝sin，x∈R.解：(1)因为3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(3)因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.三角函数奇偶性