2019年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版.pptx

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1、4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系课标要求:1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.3.能解决直线与圆位置关系的综合问题.自主学习知识探究1.直线与圆的位置关系及图形表示关系相交相切相离图形由上表可知,当直线与圆相交时,有两个公共点;当直线与圆相切时,只有一个公共点;当直线与圆相离时,没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判断方法判断直线与圆的位置关系一般有两种方法.(1)代数法(判别式法):将直线和圆的方程联立得到一个关于x,y的二元二次方

2、程组,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程,则Δ>0⇔直线和圆相交(有两个公共点);Δ=0⇔直线和圆相切(有一个公共点);Δ<0⇔直线和圆相离(无公共点).(2)几何法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径长为r,则dr⇔直线和圆相离(无公共点).用表格表示如下:相交相切相离dr方程组有两组不同的解方程组有两组相同的解方程组无解3.自一点引圆的切线的条数(1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线.

3、(2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点.(3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.4.切线方程的几个重要结论(1)经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.6.切点弦方程过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,切点分别为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.7.弦长问题设直线l的

4、方程为y=kx+b,圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,求弦长的方法有以下两种:(2)代数法:将直线方程与圆的方程组成方程组,设交点坐标分别为E(x1,y1),F(x2,y2).①若交点坐标简单易求,则直接利用两点间的距离公式进行求解.自我检测(教师备用)1.直线x+y-3=0与圆x2+y2-4y=0的位置关系为()(A)相交且直线过圆心(B)相交且直线不过圆心(C)相切(D)相离B3.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是()(A)5(B)4(C)3(D

5、)2BCD5.圆心坐标为(2,-1)的圆被直线x-y-1=0截得的弦长为2,则此圆的方程为.答案:(x-2)2+(y+1)2=4题型一直线与圆位置关系的判断【例1】已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),过点P的直线的斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆:(1)相交;(2)相切;(3)相离,并写出过点P的切线方程.课堂探究解:设过点P的直线的斜率为k(由已知k存在),则方程为y=k(x-4).法一由消去y,得x2+k2(x-4)2=8,即(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0,Δ=(-8k

6、2)2-4(1+k2)(16k2-8)=32(1-k2).(1)令Δ>0,即32(1-k2)>0,得-11或k<-1.所以当k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞)时,直线与圆相离.方法技巧判定直线与圆位置关系的常用方法(1)几何法:根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判

7、断.(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断.(3)直线系法:若动直线过定点P,则点P在圆内时,直线与圆相交;当P在圆上时,直线与圆相切或相交;当P在圆外时,直线与圆位置关系不确定.即时训练1-1:已知点P(x0,y0),圆O:x2+y2=r2(r>0),直线l:x0x+y0y=r2,有以下几个结论:①若点P在圆O上,则直线l与圆O相切;②若点P在圆O外,则直线l与圆O相离;③若点P在圆O内,则直线l与圆O相交;④无论点P在何处,直线l与圆O恒相切.其中正确的个数是(　　)(A)1

8、(B)2(C)3(D)41-2:已知圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求:当m为何值时,(1)直线平分圆;(2)直线与圆相切;(3)直线与圆有两个公共点.解:(1)因为直线平分圆,所以圆心在直线上,即有m=0.题型二直线被圆截得的弦长问题【例2】已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.2-2:设直线x+2y