江苏专用高考数学复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的值域与最值课件.pptx

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1、第3讲 函数的值域与最值考试要求1.函数的值域、最大值、最小值及其求法(B级要求);2.运用函数图象研究函数的值域与最值(B级要求).知识梳理1.函数定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量;x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)

2、x∈A}叫做函数的值域.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有_________;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(3)对于任意x∈I,都有_________;(4)存在x0∈I,使得_________结论M为最大值M为最小值f(x)≤

3、Mf(x)≥Mf(x0)=M1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y=

4、x-1

5、和y=lnx,x∈[1,+∞)值域相同.()(2)函数y=x2-2x,x∈(-1,3)有最大值.()(3)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.()(4)分段函数若有最大值,则最大值可以有多个.()解析(2)中函数在(-1,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,无最大值;(4)中分段函数其实是一个函数,最大值至多一个.答案(1)√(2)×(3)√(4)×诊断自测答案(-4,-2]∪(1,4]3.已知函数f(x)=-x2+2x+1的定义域为[0,3],则f(x)的值域为________.解析

6、f(x)=-x2+2x+1在[0,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(3)=-2.所以f(x)∈[-2,2].答案[-2,2]答案2考点一 确定函数的最值当x≤1时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上单调递增,则f(x)≤f(1)=1,综上可知,f(x)的最大值为1.(2)法一(基本不等式法)令f′(x)=0,得x=4或x=-2(舍去).当14时,f′(x)>0,f(x)在(4,+∞)上是递增的,所以f(x)在x=4处取到极小值也是最小值,即f

7、(x)min=f(4)=8.答案(1)-31(2)8规律方法求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间的极值,最后结合端点值,求出最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.故函数f(x)的最大值为2.答案(1)1(2)2考点二 求函数的值域解析(1)因为x2≥0,所以x2+2≥2,故函数的值域为[7,+∞).

8、规律方法求函数值域的常用方法遇到求值域的问题时,应首先考虑有哪几种基本方法,一般方法是什么,特殊方法是什么,在多种方法中选出最优方法.求函数值域没有通用方法和固定模式,要靠自己积累经验,掌握规律.函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题,要注意不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应用.求函数值域,不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域的制约作用.(1)观察法函数解析式结构简单,可直接看出其单调性或某一部分的范围,可结合不等式求出其值域.(5)分离常数法(部分分式法)分子、分母是一次式的有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法.(6)数形结合法对于容易画出

9、函数图象的求值域问题可画出函数图象,从图象上读出值域.(7)函数有界性法直接求函数的值域有困难时,可以对解析式进行变形,利用已学过的函数的有界性来确定原函数的值域.【训练2】求下列函数的值域:(4)(基本不等式法)令t=x-1,则x=t+1(t>0),故所求函数的值域为[-2,+∞).∴y≥5,∴函数的值域为[5,+∞).故所求函数的值域为(-1,1).考点三 恒成立与最值问题∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)0对x∈[1,+∞)上恒成立.即a>-(x2+2x)在x∈[1,+∞)上恒成立.令g(x)=-(x2+2

10、x)=-(x+1)2+1,x∈[1,+∞),∴g(x)在[1,+∞)上是减函数,g(x)max=g(1)=-3.又a≤1,∴当-30在x∈[1,+∞)上恒成立.故实数a的取值范围是(-3,1].法二f(x)>0对任意x∈[1,+∞)恒成立等价于y=x2+2x+a>0对x∈[1,+∞)恒成立.即求x∈[1,+∞)时,ymin>0,又ymin=12+2+a>0,∴a>-3,∴-3

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