年全国初中数学联赛试题及答案.doc

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1、2008年全国初中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设，，且，则代数式的值为（）A.5.B.7.C.9.D.11.2．如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为（）A..B.4.C..D..3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）A..B..C..D..4．在△中，，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则

2、（）A..B..C..D.和的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（）A..B..C..D..6．已知实数满足，则的值为（）A..B.2008.C..D.1.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．设，则.2．如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，，则四边形的面积为3．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为

3、，，则9/94．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是.第二试（A）一、（本题满分20分）已知，对于满足条件的一切实数，不等式恒成立.当乘积取最小值时，求的值.二、（本题满分25分）如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.（1）证明：点在圆的圆周上.（2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值.三、（本题满分25分）设为质数，为正整

4、数，且，求，的值.第二试（B）一、（本题满分20分）已知，对于满足条件的一切实数对，不等式恒成立.当乘积取最小值时，求的值.二、（本题满分25分）题目与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A）卷第三题相同.第二试（C）一、（本题满分20分）题目与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设为质数，为正整数，且满足,求的值.9/92008年全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一、选择题:（本题满分42分，每小题7分）1．B2.D3.C4.B5.

5、B6.D（解读：1.由题设条件可知，，且，所以是一元二次方程的两根，故，，因此.故选.2．因为，，为三角形的三条高，易知四点共圆，于是△∽△，故，即，所以.在Rt△中，.故选.3．能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是.故选.4．∵，为的外角平分线，∴.又，∴，∴.又，∴，∴.因此，.故

6、选.5．容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为，过了天.天后每种商品的价格一定可以表示为，其中为自然数，且.要使的值最小，五种商品的价格应该分别为：，，，，，其中为不超过的自然数.所以的最小值为.故选.6．∵，9/9∴，，由以上两式可得.所以，解得，所以.故选.）二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．2．3．4．1（解读：1.∵，∴，∴.2．设正方形的中心为，连，则，,,∴.又，，所以△∽△，故，从而.根据对称性可知，四边形的面积.3．根据题意，是一

7、元二次方程的两根，所以，.∵，∴，.∵方程的判别式，∴.9/9，故，等号当且仅当时取得；，故，等号当且仅当时取得.所以，，于是.4．到，结果都只各占1个数位，共占个数位；到，结果都只各占2个数位，共占个数位；到，结果都只各占3个数位，共占个数位；到，结果都只各占4个数位，共占个数位；到，结果都只各占5个数位，共占个数位；此时还差个数位.到，结果都只各占6个数位，共占个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是的个位数字，即为1.）第二试（A）一、（本题满分20分）解：整理不等式（1）并将代入，得

8、（2）在不等式（2）中，令，得；令，得.易知，，故二次函数的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件的一切实数恒成立，所以它的判别式，即.由方程组（3）消去，得，所以或.又因为，所以或，9/9于是方程组（3）的解为或所以的最小值为，此时的值有两组，分别为和.二、（本题满分25分）解：（1）连，因为为圆心，，所以△∽△，从而.因为，所以，所以，因此点在圆的圆周上.（2）设圆的半径为，的延长线交于点，易知.设，