一元二次方程根的判别式的应用

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1、妲私翻考Vo1．No7．SCIENCEFANS教育教学1一元二次方程根的判别式的应用胡军武(福建省诏安县梅洲中学福建诏安363501)摘要：一,-Lz-次方程根的判别式是初中代数的一个重要知识点，在初中数学的教材中，利用一元二次方程根的判别式的性质进行解题，大部分学生认为根的判别式仅用于判断一元二次方程根的情况，或用来求一元二次方程的字母系数的取值范围，其实不然，它可以解决很多方面的问题，不仅可直接应用在一元二次方程中，也可以扩展到很多与二次三项式有关的题目。以下结合实例来说明它在各个方面的应用。关键词：一元二次方程方程根判别式【中图分类号】G633．6【文献标识码】C【文章编号】

2、1671—8437(2010)01—0045—01一在一元二次方程中的应用’．‘X是实数．‘．△=(一8y)2-4(y+4)≥Otip(y2-4)≤0(一1、判断一元二次方程根的情况。又‘．’(y-4)I>0．‘．(y2-4)z=-0即y2-4=0利用根的判别式的性质．可以在不解方程的情况下，较快y=±2地判断一元二次方程根的情况。当y。=2时，原方程可化为x2-2x+1=0，解得x=l例1、不解方程，判断方程6x2-x一1=0根的情况。当yz=一2时，原方程可化为x2+2x+1=0，解得x一1解：．‘△=(一1)2_4×6×f一1)=25>0·．．·原方程的解为{蓦，{二．．方程

3、有两个不相等的实数根。二、在代数式方面的应用例2、若关于X的方程①mx：一nx—m+3=0(m≠0)有实数根，则(一)、分解因式方面的应用。方程(2++4mx—n+12=0(m≠01也有实数根。证明：‘．‘方程①有实数根对于分解因式过程中出现某些二次三项式ax+bx+c(a#01时，我们难以判断它能否在实数范围内能否分解因式。此时也可．．△1=(一n)2-4m(一m+3)=n+4mz_12m≥O在方程②中，利用根的判别式进行判别，从而使分解因式进行到不能分解为止。可概括如下：令ax。+hx+c=0fa≠o1／k2=(4m)2-4x1x(-n2+12)=16mZ+4n2-48=4(n

4、+4m2_12m、··①当A／>0时，二次三项式ax：+bx+c(a≠0)在实数范围内可．Al=n+4m—12m≥0‘以分解因式．．△2=4Alt>0-②当A<0时，二次三项式ax：+bx+c(a≠o)在实数范围内不．．方程②有实数根。可以分解因式(二)、求一元二次方程的字母系数的取值。利用根的判别式，可以用它来求一元二次方程的字母系数例6、因式分解x'-x一5)(x2-x+1)一7分析：这道题若是直接展开整理后再进行因式分解，则过程的取值。也可用来解决某些可化为一元二次方程形式的方程或方程组中字母的取值。较为繁琐。如果把x2-x看作一个整体，则原式可分解为fx：一x)z_4例3、

5、已知方程x2-2x+l—m=O有两个不相等的实数根．求mx-x)-12=(x2-x-6)(x-x+2)，由于X2-X一6=0的A=25>0，因此X一的取值范围。x一6可分解为(x+2)(x一3)；而x2-x+2=0的△=一7<0，所以x：-x+2不解：．‘方程x2_2x+l—m=O有两个不相等的实数根能分解。因此，x一x一5)(xx+1)一7可分解为(x+2)(x一3)(x2-x+2)。‘解：原式=(xx)乙4(x乙x)一12=(xZ-x一6)(x-x+2)．．△=(一2)—4(1一m)=一4+4m>0即m>1=(x+2)(x一3)(x2-x+2)·(二)、求某些代数式的值。．．当

6、m>l时，方程x2-2x+1一m=0有两个不相等的实数根。利用根的判别式的性质，也可用来解决某些可转化为一元例4、关于、y的方程组{ly_x：有两个相同的解，二次方程的代数式的最值问题。x+my-l=U求m的值。例7、若x为实数，求—的最大值。X十X十1解：把y=x+l代人x2+my一1=0得：x2+m(x+1)一1=0分析：这道题目要直接得到原式的取值范围是很困难的。因整理得：x2+mx+m一1=0为原式中的字母x的最高次数为2，所以我们可以把这个问题’’．原方程组有两组相同的解转化到一元二次方程中来。‘．．A=m2-4(m一1)=m2_4m+1：fm一2)2=0。解：设yx+1

7、，去分母整理得yx~+(2y一1)xY0．．m=2(三)、解某些二元二次方程。‘．‘X为实数，即上述方程中，关于x的一元二次方程有实数对于二元二次方程的求解．一般都需要两个方程组成方程根。组才可以解决，但对于某些特殊的二元二次方程，我们可以把它’．．A=(2y-I)y=_4y+l／>0转化为一元二次方程的形式，然后利用根的判别式进行求解。‘例5、解方程x2y2_8xy+4x2+y=0．}解：原方程可整理成关于x的方程得(y2+4)x2_8xy+(y+4)=O——45—