一元二次方程根的判别式的综合应用

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1、WORD格式可编辑一元二次方程根的判别式的综合应用　　一、知识要点： 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根. 　　定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根. 　　定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根. 　　2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。 　　定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实

2、数根Δ＞0. 　　定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0. 　　定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0. 　　注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a

3、≠0. 　　二.根的判别式有以下应用： ① 不解一元二次方程，判断根的情况。 WORD格式可编辑例1． 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)        2x2+3x-4=0　(2)ax2+bx=0(a≠0)    　　　解：(1)2x2+3x-4=0 　　　　　　a=2,b=3,c=-4, 　　　　　∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0 　　∴方程有两个不相等的实数根。 　　　(2)∵a≠0,∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，

4、 　　　　∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2, 　　　　　∵无论b取任何关数，b2均为非负数， 　　　　　∴Δ≥0，　　故方程有两个实数根。 　② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 　　例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0； 　　解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k WORD格式可编辑　　（1）

5、∵方程有两个不相等的实数根， 　　　∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9 　　　（2）∵方程有两个不相等的实数根， 　　　　　∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9 　　（3）∵方程有两个不相等的实数根， 　　∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9 ③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。 　　例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 　　分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 　　证明：　　Δ=(-2m)2-4

6、(m2+1)(m2+4) 　　　=4m2-4(m4+5m2+4) 　　　=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4) 　　　=-4(m2+2)2 　　∵不论m取任何实数(m2+2)2>0, 　　∴-4(m2+2)2<0,即Δ<0.WORD格式可编辑 　　∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 　　小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤： 　　（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变

7、形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2,-a2,-(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。 ④ 应用根的判别式判断三角形的形状。 　　例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。 　　证明：整理原方程： 　　方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0. 　　整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax=0 　　(c+b)x2-2ax+cm-bm=0 　　根据题意： 　　∵方程

8、有两个相等的实数根， 　　∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0 WORD格式可编辑　　　4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0 　　　ma2-c2m+b2m=0 　　∴Δ=m(a2+b2-c2)=0 　　又∵m>0,　　∴a2+b2-c2=0　　∴a2+b2=c2　　又∵a,b,c为ΔABC的三边，　　∴ΔABC为RtΔ。 ⑤  判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式 例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是