江苏省数学竞赛初赛试题(原题详解).doc

《江苏省数学竞赛初赛试题(原题详解).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝．2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝．4．已知＝，则实数x＝．5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为．6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是．7．右图是某种净水水箱结构的设

2、计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm3．8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝．9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，则此数列的前2009项的和为．10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，

3、F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sinαcosβ＝1

4、，则cos(α＋β)＝．填0．36/36解：由于

5、sinα

6、≤1，

7、cosβ

8、≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，∴α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋πÞα＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z)．∴cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝．填11．解：设公差为d，则得55＝－5×11＋×11×10dÞ55d＝110Þd＝2．ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)Þk＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴

9、长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝．填．解：由(2b)2＝2c×2aÞa2－c2＝acÞe2＋e－1＝0Þe＝．4．已知＝，则实数x＝．填1．解：即＝Þ32x－4×3x＋3＝0Þ3x＝1(舍去)，3x＝3Þx＝1．5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为．填．解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．VAPQR＝VAPQD＝×VAPCD＝××VABCD＝VABCD；又，SBPQ＝S

10、BCD－SBDQ－SCPQ＝(1－－×)SBCD＝SBCD，VRBPQ＝VRBCD＝×VABCD＝VABCD．∴A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点．由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点．由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝．∴A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是．填[3，4]．解：定义域(0

11、，4]．在定义域内f(x)单调增，且f(3)＝0．故f(x)≥0的x的取值范围为[3，4]．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm36/36．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x，ycm，则xy＝300，V＝30(20＋x)(60＋y)＝30(1200＋60x＋20y＋xy)≥30(1200＋2＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．