高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数课件.pptx

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1、3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数自主学习新知突破1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．2010年舒马赫复出的消息是F1赛车上的重磅炸弹，人们纷纷研究这位传奇的“F1之王”．研究发现，其除了超群的技术外，速度的调节也恰到好处，他不轻易使用刹车，在某个时间段内速度连续增加，在另一个时间段内速度则连续减少，呈现一定的规律性．[问题1]在某个时间段内速度连续增加，若v＝f(t)，那么f′(t)是否为正呢？[提示1]f′(t)>0.[问题2]在某个时间段内速度连续减少，若v＝f(t)，那么f

2、′(t)是否为负呢？[提示2]f′(t)<0.函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f′(x)>0单调_____f′(x)<0单调_____f′(x)＝0______函数递增递减常数上述结论可用图来直观理解．1．深入理解导数与单调性的关系在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在

3、定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.2．对导数法研究函数单调性的两点注意：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0得0

4、函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()解析：由y＝f′(x)的图象可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0

5、讨论．1．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－6x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.函数与导函数图象之间的关系设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是()[思路点拨]根据函数的单调性与其导数的正负之间的关系作判断．解析：对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A符合题意．同理，选项B，C也符合题意．对于选项D，若曲线

6、C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．答案：D(1)注意图形语言、符号语言之间的转化及应用．在某个区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)也就是f′(x)的图象在x轴的上方(或下方)，则函数在该区间内是增函数(或减函数)．(2)研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与

7、原函数的单调区间是否一致．2．已知导函数f′(x)的下列信息：当－13，或x<－1时，f′(x)>0；当x＝－1，或x＝3时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解析：如下图：当－13，或x<－1时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x＝－1，或x＝3时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称