线性代数向量的线性相关性.ppt

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1、第二节向量组的线性相关与线性无关由若干维数相同的列向量（或行向量）构成的定义1向量集合称为向量组.由m个n维向量构成的向量组可记为一：向量组的线性组合、及线性表示探讨向量和向量组的关系例中标准基以及自身定义2设是n维向量组,是一组数,则称是向量组的一个线性组合若向量满足则称向量是的一个线性组合或向量能由线性表示例1设(1)由所以是,的一个线性组合,或能由,线性表示.(2)易知所以是,的一个线性组合,或能由,线性表示.注:由上不难看到向量组的线性组合形式不止一个有无穷多个),向量组可以线性表示无数多个向

2、量.那么向量组是否能表示所有的同维向量(事实上一个向量组到底能表示那些向量,或给出一个向量其是否能由向量组表示具有重要意义.例对线性方程组若记向量则方程有解当且仅线性表示当向量能由向量组二　线性相关与线性无关的概念为了研究一个向量组是否能表示给出的向量，要对向量组自身性质进行研究，引入向量组线性相关与我们有必线性无关的概念。探讨向量组自身的性质（一）线性相关与线性无关的概念定义3对向量组若存在不全为零的数使得则称向量组M是线性相关的，否则称M是线性无关的注：(1)所不同的是：零向量能被向量组用系数向量组线性相关当且仅当(2)

3、对任意向量组肯定存在一组数使得例向量组M是线性相关时不只有使成立向量组M是线性无关时只有使成立不全为零线性组合表示。(3)若则线性无关当且仅当(4)线性相关当且仅当齐次方程组有非零解；线性无关当且仅当齐次方程组仅有零解；则有判断向量组是否线性相关一个方法是：构造齐次方程，向量是系数矩阵的列（不论向量是列向量然后判定齐次方程是否只有零解。还是行向量)例2讨论向量组的线性相关性解：设有数使即方程因为由克莱姆法则知道方程有非零解。故向量组线性相关例2*讨论向量组的线性相关性解：设有数即方程使因为由克莱姆法则知道方程有仅有零解。故向量

4、组线性无关思考:证明一个向量的向量组线性相关的充要条件是这个向量是零向量.（二）线性相关或线性无关的例子例3设有数证明：使即整理得故有方程组的系数行列式故只能为零,所以例4证明向量组线性无关其中证明：使设有数即故向量组线性无关注若向量组中的向量作成矩阵的行或列所得矩阵A为阶梯形矩阵,均不为零,则称向量组为阶梯形向量组例4结论为“阶梯形向量组线性无关特别地中标准基线性无关因为即是阶梯形向量组例5且判断它们相关性三向量组线性相关性的一些命题定理1向量组M线性相关M中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示注:(1)多余两向量的向

5、量组线性相关能保证向量组有一个能被其余向量线性表示.但不能保证每一个向量能被其余向量线性表示.参见例6,则例6判断向量组M是否线性相关注(2)能被向量组线性表示,则新向量组线性相关.反之是否成立?定理2且表示式是唯一的.而向量组线性相关,则向量一定能被向量组M线性表示，注:定理1、2充分揭示了向量组能否表示给定向量与向量组线性相关性的关系.定理3设两向量组M、N满足MN，那么(1)若向量组M线性相关，则向量组N也线性相关(2)若向量组N线性无关，则向量组M也线性无关可简述为：子向量组相关,则向量组也相关；向量组无关，则子向

6、量组也无关。推论1含有零向量的向量组是线性相关的定理4两个向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应坐标成比例四阶梯形矩阵在线性相关性问题中的应用(一)向量组与矩阵的关系1向量组矩阵m维列向量组可构造两个矩阵向量作成矩阵的列向量作成矩阵的行(1)(2)显然例向量组可构造矩阵2矩阵向量组矩阵(1)矩阵对应两个向量列组(A)矩阵的列构成一个列向量组称为矩阵列向量组,它是一个m维向量组,有个n向量(B)矩阵的行构成一个列向量组称为矩阵行向量组,它是一个n维向量组,有m个向量.例矩阵矩阵的列向量组为矩阵的行向量组为2矩阵

7、向量组矩阵(2)矩阵对应两个向量行组(A)矩阵的列构成一个行向量组它是一个m维行向量组,有个n向量(B)矩阵的行构成一个行向量组它是一个n维行向量组,有个m向量例矩阵(A)矩阵的列构成一个行向量组(B)矩阵的行构成一个行向量组(二)矩阵初等变换与向量组的线性组合把矩阵的每一行(列)看作一个向量，用向量观点重新认识矩阵初等行(列)变换.矩阵初等行(列)变换就是:对矩阵的行(列)向量组不断地进行对调、倍乘和倍加也就是不断地把矩阵的行(列)向量的线性组合加到另一个行(列)向量上去的过程的过程，例通过初等行变换把矩阵化阶梯形矩阵后,(

8、1)若矩阵A的阶梯形矩阵中有零行，则意味着A的零行所对应向量是其余行向量的线性组合这时矩阵A的行向量组线性相关。(2)反之，若矩阵A的行向量组线性相关，则A的某个行向量是其余行向量的线性组合。对矩阵A施行相应的初等行变换，从而A的阶梯形矩阵中必有零行基于矩阵初等变换与向量组合