高中数学对称与对称问题专题复-习新课标人教A版必修2.doc

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1、对称与对称问题对称和对称问题在高中数学课本中虽然没有专门研究，但在高中数学中多处出现。纵观历届高考试题对称问题频频考查，应引起我们足够重视。下面对这类问题的解法作了一点归纳，供同学们参考。一、对称的基本问题举例（1）点关于点的对称点问题点关于点的对称问题是最基本对称，是解答其它对称问题的基础。（利用中点坐标公式）①点关于原点的对称点为②点关于点的对称点为③曲线关于点的对称曲线为例1：已知点，试求A点关于B点的对称点C的坐标。[略解]（2）直线关于点的对称直线问题①直线关于点的对称直线为②特殊地：直

2、线关于原点的对称直线为例2：求直线关于点对称的直线方程。[略解]整理得（3）点关于直线的对称点问题常见的点关于直线的对称点坐标之间关系，在此再强调一次必须记熟。①点关于x轴的对称点为②点关于y轴的对称点为③点关于直线y=x的对称点为④点关于直线y=-x的对称点为⑤点关于直线x=m的对称点为⑥点关于直线y=n的对称点为⑦点关于直线的对称点的求法：令，则有解此方程组，可得对称点的坐标。（点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数（仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单）

3、）例3：求点关于直线的对称点坐标。[解]设是点关于直线的对称点，则有解得，所以对称点坐标为3（4）直线关于直线的对称直线问题常见的直线关于直线的对称直线关系。①直线关于x轴的对称直线为直线②直线关于y轴的对称直线为直线③直线关于y=x的对称直线为直线④直线关于y=-x的对称直线为直线⑤直线关于的对称直线为直线⑥直线关于的对称直线为直线⑦直线关于直线的对称直线的一般求法：（1）先求出与的交点，则该交点在直线上；（2）再用“到角公式”（其中分别为，，的斜率）求出的值。例4：已知直线若直线与关于直线对称

4、，则的方程是（）（高端教学高考回览2）A．B．C．D．[略解1]的方程是选B入射线反射线[略解2]（1）交点坐标；（2），解得。二、有关光的入射线、反射线问题例5：光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程。[略解]（1）交点坐标；（2），解得。根据点斜式可得：反射光线所在的直线方程为例6：光线从点A（-2，4）射出，经直线反射，若反射光线过点B（5，8），求（1）反射光线所在直线方程；（2）光线从A到B经过的路程S。————（高端教学例3之变式——综合拓展）[略解]（1）点A（-2，

5、4）关于直线的对称点。根据两点式可得反射光线所在直线方程为：；（2）。3三、对称问题的应用（高端教学——创新思维篇）[立意]利用直线的对称知识及三角形三边的关系求距离的最值。[探究]求满足下列条件的点及最大、最小值：（1）已知点A（-3，5），B（2，15），试在直线上找一点P，使

6、PA

7、+

8、PB

9、最小，并求出最小值；（2）已知点A（4，1），B（0，4），试在直线上找一点P，使

10、PA

11、-

12、PB

13、的绝对值最大，并求出最大值。[略解]（1）①点A（-3，5）关于直线的对称点②直线③解方程组得④此时为

14、所求最小值⑤若在直线上任取异于点的任意点，则由（三角形两边之和大于第三边）知只有所求的点满足题意。（2），最大值为。小结：设点关于直线的对称点为，设直线与直线相交于点。若在直线的同一侧，则最小；若在直线的异侧，则最大。3