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1、第二节 空间几何体的表面积和体积1总纲目录教材研读1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式考点突破2.空间几何体的表面积与体积公式考点二 空间几何体的体积考点一 空间几何体的表面积考点三 与球有关的切、接问题圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=①2πrlS圆锥侧=②πrlS圆台侧=③π(r+r')l1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式教材研读2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=④Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=⑤Sh台体(棱台和圆台)S表面积=
2、S侧+S上+S下V=(S上+S下+)h球S=⑥4πR2V=⑦πR3几个与球切、接有关的结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①若球为正方体的外接球,则2R=a;②若球为正方体的内切球,则2R=a;③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.将一个相邻边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面积是( )A.40π2B.64π2C.32π2或64π2D.32π2+8π或32π2+32πD答案D 当
3、底面周长为4π时,底面圆的半径为2,两个底面的面积之和是8π;当底面周长为8π时,底面圆的半径为4,两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2+8π或32π2+32π.2.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为( )A.π B.πC.16π D.24πB答案B 设球的半径为R,则由4πR2=16π,解得R=2,所以这个球的体积为πR3=.3.已知圆锥的表面积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )A.1cm B.2cm C.3cm D.cm
4、B答案B 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意可知l=2r,∴S=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12πcm2,∴r=2(cm).4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.6 B.3C.2D.3答案B 由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以几何体的体积V=S·h=×3=3.B5.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.12答案12解析设六棱锥的高为h,斜高为h
5、0.因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形,所以底面面积为×2×2×sin60°×6=6,则×6h=2,得h=1,所以h0==2,所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6=12.6.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.2答案2解析四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其面积为2×1=2m2,四棱锥的高为3m,所以四棱锥的体积V=×2×3=2m3.典例1(1)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )A.21+B.18+C.21 D.18考点一 空间几何体
6、的表面积考点突破12(2)(2018安徽合肥质检)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.13答案(1)A (2)26解析(1)根据题意作出直观图如图,该多面体是由正方体切去两个角而得到的,根据三视图可知其表面积为6+2××()2=6×+=21+.故选A.14(2)该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分,长方体的长,宽,高分别为4,1,2,挖去半圆柱的底面半径为1,高为1,所以表面积为S=S长方体-2S半圆柱底-S圆柱轴截面+S半圆柱侧=2×4×1+2×1×2+2×4×2-π×12-2×1+×2π×1=26.1
7、5方法技巧空间几何体表面积的求法(1)表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积,只需将它们沿着棱剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要弄清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出不规则几何体的表面积.161-1某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2B.11+2
8、C.14+2D.15B17答案B 由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.直角梯形斜腰长为=,所以底面周长为4+,侧面积为2×(4+)=8+2,两底面的面积和为2××1×(1+2)=3,所以该
