2017年上海市高三数学竞赛解答(供参考).doc

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1、2017年上海市高三数学竞赛（2017.03.26）解答（供参考）一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1、函数y=lg[arcsin(2x2－x)]的定义域是__________，值域是__________.【答案】，【提示】求定义域：，求值域：.2、数列是递增数列，满足：an+12＋an2＋81=18(an＋an+1)＋2anan+1，n=1，2，……，而且a1=1，则数列的通项公式an=__________.【答案】an=(3n－4)2或者(3n－2)2【提示】（方法一）找规律＋数学归纳

2、法/代入检验。计算可得：nan11241632549464100………………归纳得：an=(3n－4)2或者(3n－2)2（数学归纳法证明/代入检验略）。（方法二）严格推导（注意舍去增根）原方程变形可得：an+12－(2an＋18)an+1＋an2－18an＋81=0；15由求根公式可得：；开方可得：；计算可得：a2=4或者16，当a2=4，a3=25；当a2=16，a3=49，由已知数列是递增数列，所以当n≥3，n∈N*时，，进而，（小根不满足“数列是递增数列”因此舍去）；可证数列从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，

3、本题有两解。3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________.【答案】【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4张，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________.【答案】【提示】分类

4、讨论：第一位是0，第一位是1，第一位是2（2013～2016）。15.5、设，则=__________.【答案】【提示】（方法一）运用数列“逆序求和法”计算.记，则.两式相加可得：，可得原式的值为.（方法二）严格推导（三角函数＋数列分组求和法）计算.综上，原式15.6、设集合A={a1，a2，a3}是集合{1，2，……，16}的子集，满足a1＋7≤a2＋4≤a3，则这样的子集A共有__________个。【答案】165【提示】穷举法。对于a2的值分类讨论：a2=4，5，……，12，分别有：1×9，2×8，……，9×1种可能，符

5、合题意的子集A共有：S=1×9＋2×8＋3×7＋……＋9×1.7、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)，B(2，3)，及圆C：，若线段AB（包括端点A，B）在圆C的外部，则实数a的取值范围是__________.【答案】【提示】（方法一）数形结合＋分类讨论1）若a=0，符合题意；2）若a<0，圆心C(a，-1)在第三象限。此时只需点A在圆C外即可符合题意；（恒符合题意）3）若0

6、1)在第四象限。此时只需点B在圆C外即可符合题意；15解得a>.综上所述，实数a的取值范围是.（方法二）转化成不等式恒成立问题＋分类讨论在线段AB上任取一点P(t，3)，t∈[0，2]，由题意，点P恒在圆C外，因此：，即对任意t∈[0，2]恒成立。对实数a的值分类讨论可得：1）如果，即，原不等式恒成立，符合题意；2）如果，即或者；2.1）若，代入得，对任意t∈[0，2]恒成立，符合题意；2.2）若，代入得，当时该不等式不成立，舍去；3）如果，即或者；3.1）若，则t－a>0，因此，可得，分子有理化可得：，对任意t∈[0，2]恒

7、成立，符合题意；3.2）若，则t－a>0，因此，可得，，该不等式对任意t∈[0，2]不恒成立，不符合题意，舍去；153.3）若a≥2，则t－a<0，因此，可得，对任意t∈[0，2]恒成立，a2－8a＋10>0，解得。综上所述，实数a的取值范围是.8、一串“＋”、“－”号排成一行，从左向右看，就会产生“变号”。例如，＋＋－＋－－＋，其中有4次“变号”，若有10个“＋”号与6个“－”号排成一行，产生7次“变号”，则这种排列共有__________种。【答案】672【提示】由于是否变号仅看“＋”、“－”号是否从左向右交替出现。考虑“

8、－”号有几组（连续的“－”号算作一组，用【－】表示）：要产生7次“变号”，必须出现4组“－”号，与“＋”号组（用【＋】表示）的相对位置有如下两种情况：（1）【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】（2）【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】将6个“－”号分成