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时间:2020-03-13
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1、想一想前面我们学习过一元二次方程的解法,并解过一些一元二次方程,有些一元二次方程有两个根,而有些一元二次方程又没有根,那么一元二次方程的根由哪些条件决定的呢?2.3一元二次方程根的判别式在用配方法解一元二次方程时,把方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到:我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,总是要求b2-4ac≥0.这是为什么?此时,原方程有两个不相等的实数根.由于a≠0,所以>0,因此我们不难发现:(1)当时,由于正数有两个平方根,所以原方程的根为此时,原方程有两个相等的实数根.当时,(2)由于0的平方根为0,所
2、以原方程的根为由于负数在实数范围内没有平方根,所以原方程没有实数根.当时,(3)关于在<0时方程的根的情况,我们将在高中阶段学习.因此,若方程要有实数根,则必须为非负数.我们把叫作一元二次方程的根的判别式,记作“Δ”,即Δ=.ax2+bx+c=0(a≠0)综上可知,我们不难发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由Δ=来判断:当Δ>0时,原方程有两个不相等的实数根,其根为当Δ=0时,原方程有两个相等的实数根,其根为当Δ<0时,原方程没有实数根.主要应用:1.不解方程判断一元二次方程根的情况2.已知方程根的情况确定字母的取值范围举例例
3、不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:(1)3x2+4x-3=0(2)4x2=12x-9(3)7y=5(y2+1)(1)3x2+4x-3=0(2)4x2=12x-9所以,原方程有两个不相等的实数根.所以,原方程有两个相等的实数根.因为Δ==42-4×3×(-3)=16+36=52>0,解=144-144=0,因为Δ==(-12)2-4×4×9将原方程化为一般形式,得4x2-12x+9=0.解要先将方程化为一般形式,才能确定a,b,c的值.(3)7y=5(y2+1)所以,原方程没有实数根.将原方程化为一般形式得5y2-7y+5=0.解=49-100
4、=-51<0,(-7)2-4×5×5因为Δ==1.求判别式时,应该先将方程化为一般形式.2.应用判别式解决有关问题时,前提条件为“方程是一元二次方程”,即二次项系数不为0.方法小结:练习1.一元二次方程的根的情况为()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)只有一个实数根(D)没有实数根(A)有两个相等的实数根2.不解方程,利用判别式判别下列方程的根的情况:(3)2y2-3y+4=0;(4)(1)x2+3x-1=0;(2)x2-6x+9=0;(1)x2+3x-1=0(2)x2-6x+9=0所以,原方程有两个不相等的实数根.所以,原方程
5、有两个相等的实数根.因为Δ==32-4×1×(-1)=9+4=13>0,解=36-36=0,因为Δ==(-6)2-4×1×9解(3)2y2-3y+4=0所以,原方程没有实数根.因为Δ==32-4×2×4=9-32=-23<0,解将原方程化为一般形式,得解(4)因为Δ==20-20=0,所以,原方程有两个相等的实数根.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()中考试题例A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0由方程是一元二次方程可知k≠0,又由方程有两个不相等的实数根知Δ=(-2)2-4×k
6、×(-1)>0,故k>-1且k≠0,故选B.解B
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