曲线曲面的基本理论(2)

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1、第三节曲面初论一、曲面的参数表示二、直纹面与可展曲面三、参数曲线曲面的拼接2014/10/2930-1一、曲面的参数表示曲面的向量式参数方程：p(,)uvxuv(,),(,),(,)yuvzuv(,)uvD曲面的坐标式参数方程：xxuv(,),yy(,),uv(,)uvDzzuv(,).（u,v称为曲面的参数或曲纹坐标）2014/10/2930-2曲面的基表示参数方程（CAGD）：mnpp(,)uvijij()()(,)uvuvDij00其中：im0,,

2、;jn0,,()u是以u为变量的一组基函数，i()v是以v为变量的一组基函数.j()()uv是以u,v为变量的一组基函数，ijp为系数矢量！ij2014/10/2930-3定义1.设曲面π：p=p(u,v)具有连续的偏导向量，若ppuv(,)(,),uv00uv000则称(u0,v0)对应曲面上的点为正则点，否则称为奇点，若曲面π上每点都是正则点，则称曲面π为正则曲面.（简单曲面）注：曲面在正则点处具有唯一确定的切平面!切平面的法向量：n=puv(,)(,)uv00puv00切平面方程：n(PP)=0

3、0曲面的等距面方程：P(u,v)=p(u,v)dn2014/10/2930-4定义2.称p=p(u,v)为曲面π：p=p(u,v)的u曲线，0称p=p(u,v)为曲面π：p=p(u,v)的v曲线，它0们构成的曲线网称为曲面π的曲纹坐标网.若ppuv(,)(,),uv00uv000且u曲线、v曲线不自交，则称曲面的曲纹坐标网为正则坐标网.若pp(,)uv(,),uv则称曲面的曲纹坐标网uv0000为正交坐标网.2014/10/2930-5例如：(1)圆柱螺面（正螺面）xuvcos,yuvsin,zk

4、v.0.6u304vu曲线：直线（母线）v曲线：圆柱螺线2014/10/2930-6Matlab绘图（圆柱螺面）：v=linspace(0,4*pi,73);u=0.6:0.4:3;k=0.5;m=length(v);n=size(u,2);fori=1:mforj=1:nX(i,j)=u(j)*cos(v(i));Y(i,j)=u(j)*sin(v(i));Z(i,j)=k*v(i);endendsurf(X,Y,Z)2014/10/2930-7(2)旋转曲面xfu(),母线c：y

5、0,uuu01zgu().旋转轴：z轴旋转曲面：xfuv()cos,uuu01yf()sin,uvvvv01zgu().2014/10/2930-8(a)球面xRuvcoscos,yRuvcossin,zRusin.u2202vu曲线：经线v曲线：纬线2014/10/2930-9(b)伪球面xuvsincos,yuvsinsin,uzlntancos.u23.2u4.2u曲线：曳物线02

6、vv曲线：纬线（圆）2014/10/2930-10(c)悬链面uxacoshcos,vauyavcoshsin,azu.50u50u曲线：悬链线02vv曲线：纬线（圆）2014/10/2930-11二、直纹面与可展曲面定义3.若曲面p(u,v)的u曲线或v曲线中的一族是直线，则称该曲面为直纹面，该族直线称为母线.直纹面上与所有母线都相交的曲线称为准线.注：直纹面也可定义为：母线在空间连续运动扫出的轨迹！（如：圆柱面、圆锥面、圆柱螺旋面）2014/10/2930-12双

7、曲抛物面（马鞍面）单叶双曲面2014/10/2930-13单叶双曲面2014/10/2930-14直纹面的方程形式：设准线为h(u)，母线的方向向量为l(u)，直纹面可视为准线沿母线方向l(u)连续运动产生的轨迹，故直纹面的方程可表示为phl(,)uv()uvu(),l(u)vl(u)h(u)2014/10/2930-15如：塔柱上的螺旋楼梯phl(,)uv()uvu()(0,0,)uv(cos,sin,0)uu(cos,sin,)vuvuu2014/10/2930-16直纹面的方程：phl(,)uv(

8、)uvu()若h(u)=h，则直纹面表示锥面；若l(u)=l，则直纹面表示柱面；若lh()uu(),则直纹面表示切线面；曲线上所有点的切线的集合（h(u)称为脊线）2014/10/2930-17锥面圆锥面组成的屋面2014/10/2930-18柱状面的应用实例2014/10/2930-19定义4.若直纹面沿其每条母线只有唯一