第一章 曲线曲面的基本理论(1)

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1、第一章曲线曲面的基本理论第一节向量函数第二节曲线初论第三节曲面初论2014/10/2236-1第一节向量函数一、向量二、向量函数及其极限、连续三、向量函数的微积分2014/10/2236-2一、向量pijkxyzxyz,,微分几何：研究曲线曲面上一点邻近的性质.（微分性质）CAGD：研究工业产品形状描述的数学方法.注：向量的模、和差、数乘、数量积、向量积、混合积、夹角等等.2014/10/2236-3二、向量函数及其极限、连续定义1.设有一点集G，若对xG,都有一个确定的向量p与之对应，则称在G上定义了

2、一个向量函数，记作：pp(),xxG.若G为一实数区间[,],tt则定义了一元向量函数：12pp(),tttt[,].12曲线若G为一平面区域D(,),uv则定义了二元向量函数：pp(,),(,)uvuvD.曲面2014/10/2236-4定义2.设有向量函数p()tx(),(),(),tytzt常向量aaaaxyz,,,若满足0,0,当时0tt,pa()t.0则称a为向量函数p(t)的极限.记作：lim()pta.tt0注：lim()pattt0lim()x

3、ta,lim()yta,lim()zta.xyztt000tttt2014/10/2236-5定义3.若向量函数p(t)满足lim()pptt(),0tt0则称向量函数p(t)在t点连续.0注：lim()pptt()0tt0lim()xtxt(),lim()ytyt(),lim()ztzt().000tt000tttt2014/10/2236-6三、向量函数的微积分定义4.设有向量函数p(),t若pp()(ttt)00limt0t存在，则称p(t)在t0可微,且称该极限值为

4、p(t)dp在t0的导向量或微商.记作：p()t0或.dttt0称d(p=ptt)d为p(t)在t的微分.02014/10/2236-7注：p()tx(),(),(tytzt).d(pp)12(1)pp;12dtd(p)(2)pp,其中()t为数量函数;dtd(pp)12(3)pppp;1212dtd(pp)12(4)pppp;1212dt(5)2014/10/2236-8定义5.若R()ttp(),定义向量函数p(t)的不定

5、积分pR()dtt()tC.注：(1)p()dttxttyttztt()d,()d,()d.(2)向量函数p(t)在[t,t]上的定积分12tt22t2t2p()dttxttyttztt()d,()d,()d.tt11t1t1RR()().ttNewton-Lebnize公式212014/10/2236-9第二节曲线初论一、曲线的参数表示二、弧长参数化三、曲线的曲率和挠率2014/10/2236-10一、曲线的参数表示向量式参数方程：p()tx(),(),()tytzttt

6、t12xxt(),坐标式参数方程：yy(),tttt12zzt().注：(1)参数含义：时间，距离，角度，比例等：(2)规范化参数区间：[0,1]2014/10/2236-11例如：（平面曲线，t为参数）xartcos,xatsec,圆：双曲线：ybrtsin.ybttan.2xatcos,xp2,t椭圆：抛物线：ybtsin.yp2.txxtcos,0直线：yytsin.02014/10/2236-12例如：（圆柱螺线）x

7、cos,ysin,z.062014/10/2236-13圆柱螺线的应用2014/10/2236-14•曲线的基表示参数方程：npp()ttii()0t1i0其中：i()ti0,,n称为（调配）基函数，（决定了曲线的整体性质！）piin0,,称为系数矢量！2014/10/2236-15如：直线段的参数矢量表示：P(x,y,z)1111直线段PP的方程：01P()tP()(tP1t)tP01（线性插值）PtPP010P(x,y,z)0000x

8、t(1)xtx,01或yt(1)y01tyt,01zt(1)ztz.012014/10/2236-16注：利用线性插值构造局部坐标！（参数变换）x(1txtx)xxx0101xx0局部坐标：t01txx102014/10/2236-17常用的（调配）基函数：n(1)La