2016届高考数学第一轮知识点总复习课件57.ppt

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1、第十一章　复数、算法、推理与证明第5节　数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[要点梳理]数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，推出当__________时命题也成立．n＝k＋1只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的所有正整数都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．质疑探究：数学归纳法两个步骤有什么关系

2、？提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误．(1)第一步中，验算n＝n0中的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2或3等．(2)第二步中，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，掌握“一凑假设，二凑结论”的技巧．[解析]观察等式左边的特征易知选C.[答案]C[解析]从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项.[答案]D4．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k

3、)＋________.[解析]易得f(k＋1)＝f(k)＋π.[答案]π[典例透析]所以当n＝k＋1时等式也成立．综合(1)(2)知对一切n∈N*，等式都成立．拓展提高(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几；(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．思路点拨利用假设后，要注意不等式的放大和缩小．拓展提高　(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式

4、一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用均值不等式法；③作差比较法等．考向三　用数学归纳法证明整除性问题例3用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n为正整数．思路点拨当n＝k＋1时，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配凑成

5、42k＋1＋3k＋2的形式是解题的关键．拓展提高　用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k＋1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除．”活学活用3　已知n为正整数，a∈Z，用数学归纳法证明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．[证明](1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．(2)假设n＝k时，ak＋1＋(a

6、＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2思路点拨关键是搞清n＝k到n＝k＋1时对角线增加的条数，看顶点的变化可知对角线的变化从而可解．拓展提高　用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大

7、技巧.活学活用4　平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分．[审题视角](1)将n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明．(2)利用分析法，结合x＞0，y＞0，x＋y＝1，利用基本不等式可证．【答题模板】第1步：寻找特例a1，a2，a3等．第2步：猜想an的公式．第3步：转换递推公式为an与an－1的关系．第4步：用数学归纳法证明an.①验证递推公式中的第一个自然数n＝2.②推证ak＋1的表达式为k＋1.③补验n＝1，说明

8、对于n∈N*成立．第5步：分析法证明．提醒：(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值．[思维升华]【方法与技巧】1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去