浅析函数的值域问题.doc

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1、浅析函数的值域问题中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号:1672-1578(2014)05-0165-02在高中阶段，函数可谓是数学中的重头戏，是高考中的压轴部分，更是许多考生最棘手的问题。函数是高中数学中的重点，更是高中数学中的难点。关于函数，我们无非就是抓住函数的三要素：定义域，对应法则，还有就是值域。事实上，给出了函数的对应法则与定义域，函数的值域也就唯一确定了，可是，难点也就在此，给了我们函数的解析表达式，给了我们函数的定义域，我们应该如何求函数的值域呢，求函数的值域有哪些方法呢，函数的值域问题在数学中又有怎样的应用

2、呢？1.我们谈论一下求函数值域的方法高中阶段学完函数后，我们会发现，求函数值域的方法还是比较多的,方法有：单调性法，配方法(主要针对二次函数)，判别式法，基本不等式法，换元法，导数法，几何意义法等。下面就请大家看一下求函数值域的一些简单问题。例1：求函数的值域。分析：当我们看到这个题目时，会觉得这个题目并不难，因为它是一个典型的二次函数求值域问题，只要考察二次函数的对称轴，开口方向就可以了。可是我们再仔细地看一下这个问题，这里的x不能取到所有的实数，只能取中的实数，这就给问题又增添了一个台阶，最后就转化为求二次函数在指定区间上的值域问

3、题。解：由条件：函数是二次函数，它的对称轴为x=l,开口向上，因此在上单调递减，在上单调递增。由此得，当X二1时函数达到最小值2,而函数的最大值可能在x=0的时候取到，也有可能是在x二3的时候取到，而我们知道，开口向上的抛物线，离开对称轴距离越远，函数值越大。因此当x二3时,函数达到最大值6,因此函数的值域为［2,6］。点评：从上述问题中，我们发现，这是求二次函数在指定区间上的值域问题，要注意二次函数的对称轴，开口方向，以及函数在指定区间上的单调性。例2：求函数的值域。分析：此题是两个二次函数的比值，求值域问题。好多考生看到这边,不禁

4、懵了，怎么做呢？下面我们给出解答。解：由题意：可化为也就是而，所以，所以，所以，点评：上述解题过程是先将函数拆凑，然后利用不等式的放缩，里血耍注意代数式的范I韦I，最后求出了函数的值域。看完上述题冃，我们不禁会思考，这道题冃还有其它解法吗？回答是肯定的。既然里面看到了x的二次项，我们就可以考虑一元二次方程了。下面我们给出这道题目的另外一种解法。另解：由题意：可化为，整理得：由此知，这个方程是形式上的关于X的一元二次方程。当y二2时，它就不是一元二次方程了，此时方程变为1=0,而这是不可能的，所以yH2,所以这个方程一定是一个一元二次方

5、程，并且这个方程一定要有根，所以A30,而所以，所以，又因为yH2,所以。点评：上述这种解法完成后，大家都知道这种方法是判别式法，但用判别式法也有它的注意点，要注意得到的是一个形式上的一元二次方程，要对它进行讨论，这是好多同学容易遗漏的地方，他们一上来就会用△鼻0来做，而A只有一元二次方程才具有的。例3：已知x2+y2二1,求xy的取值范围。分析：当家看到这个题目时，第一会想到的就是，而所以一下子就得到了xy的取值范围。解：因为，又因为，所以，因此思考：看到这里，我们不禁会问，这种解法对吗？这里的xy是否会取遍中的所有数呢？答案是否定

6、的。因为上述解法采用了基本不等式法，而基本不等式法的应用有三个条件，那就是：一正，二定，三相等。而这X2里面未必就是x,Y2未必就是y。那这道题目应该怎么做呢？解：因为，又因为，所以即。点评：当我们充分了解基木不等式的适用范围之后，上述解出来的xy的取值范围就正确了。思考：事实上，当我们看到时候，我们就会联想到一个类似的表达式因此这样我们就转化为了求三角函数的值域问题。另解：由于是可令因此又因为所以点评：上述解法也是求值域问题的一种比较好的方法，我们称Z为换元法，即〃三角换元法〃。其中求值域利用了三角函数的有界性。下面再请大家看一下延

7、伸的题目。如下：例4：已知x2+y2二1,求x+y+xy的取值范围。分析：其实x+y+xy我们可以看成是x+y与xy的和。在这个过程中,我们只要用x+y来表示xy,或者用xy来表示x+y就可以了。解：由条件：可设x+y=t,所以，于是因此所以，由例3的结论得：，所以解之得：令当t二-1时，f(t)达到最小值T,当时，f(t)达到最大值所以x+y+xy的取值范围为点评：上述这道题日的解题思想就是将x+y与xy都化成同一个变量的函数，最后x+y+xy就变为了一个二次函数，但要注意里面参量的范围。事实上,这种类型的式子我们也是见过的，例如：

8、sinx+cosx+sinx.cosx,求这个式子的范围，我们也是根据sinx与cosx的平方和为1来操作的。因为三个式子sinx+cosx,sinx-cosx,sinx.cosx是知一就可以求二的,知道其中一个就可以求