发掘例习题的潜在功能,培养学生学习数学兴趣.doc

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1、发掘例习题的潜在功能，培养学生学习数学的兴趣李星明课本中的例习题，是传授知识、巩固知识、提高思维水平、培养学生学习数学兴趣的载体，仅从表而上看，它们似乎较简单，而实际上，它们却都是数学中的’‘精品”，具有很强的典型性和示范性，因此，教师应在教学中引导学生充分发掘例习题的潜在功能，为培养学生学习数学兴趣加梯搭桥，促使学生的思维水平有层次有步骤地向着优化的方向发展，下而以人教版必修四不等式证明一节练习课为例，谈谈发掘例习题的潜在功能，培养学生的探究、创新意识的体会。课题：不等式的证明练习：求证(ac+bd)2<(a2+b2)(c2^-d2)%1.强化基础，提高联系兴趣不等式

2、证明这一节教材上着重介绍了分析法和综合法，通过练习，可加深対分析法和综合法的理解，进一步巩固不等式的性质、基本不等式等有关知识。在练习过程中，发现大多数学生都能采用分析证明，即证法一：要证(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2)展开得arc2+b2d2+2abck

3、仅达到这个水平是远远不够的。%1.深化认识，提高创新兴趣采用上述证法，大多数学生都掌握了不等式证明的一种方法一一分析法。但山于此不等式的结构具有“B2-ACW0”这一特征，有相当一部分同学在寻求新的方法，在此，教师应及时进行启发，引导学生联想二次函数fM=ax2+bx+c的判别式，经过这一点拨,学生得出另一证法。证法二：构造二次函数：f(x)=(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+(c2+d2)=(tzx-c)2+(bx-d)2>0根据二次函数的性质可知：A=4(ac+bclf-4(6z2+b2)(c2+J2)<0即(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2)这样，

4、就可使学生有一个方法上的体验，从而使英思维上达到方法水平。有了这种体验后，他们就会逐渐地尝试用构造二次函数的思维方法证明不等式。但是这并不等于学生的思维水平己经得到了充分的发展，因为此题还可以用三角换元法來证明，故尚须引导学生在思维上进一步提高，使习题的知识涉及到数学的各个分支，力求沟通它们之间的联系，提高学生的创新水平。如果设a2+b2=r^c2+d2=r^，再联想到三角恒等式，会得到另一证法。证法三：令a2+b2=r^c2+d2=r^设a=icosa,b=斤sina,c=r2cos0,d=r2sin0贝!J(ac+bd)2=厂[F(cosacos0+sinasin

5、J3)2=斤胡2cos2(a-/?)

6、换开平方得J(a+b)(c+〃)>y[ac+y[bd(2)2、特殊化：(1)中令c=l,d=l,稍变形得/+b，、，a+b、r223、变形：将(1)中两边开平方后，乘以2加上°2+戸+。2+〃2然后开平方得4a~+/?2+d~>++(Jb+df(4)对于上述不等式，我们还可以引导学生通过猜想进行拓广，猜想，是人类思维活动中最活跃、最富有创造性的部分，利用面临的材料和机遇，引导学生猜想是培养创新意识的重要手段。将(1)式中的项a、b、c、d推广到n项得不等式(a/+a224+矿+•••$：)»(a}b}+a2h2+••-anhn)2(5)(2)中将项a+b,c+d推广到n

7、项，根指数推广为n得不等式站+勺)@2+%)•••(色+亿)nylaa2'"an+町叭…*(6Z./?.GR+)(6)将(3)中的次数推广有冬也n(出)",(djw/r)(7)22o9r将（3）中的项数推广有。「5~+・・・+吋、（％+色+・・叫）2（8）nn（4）中将项a,b,c,d分别推广到n项有+.・・d“2+J〃]_+bj+…方J>J（%+/?]）_+（色+$）+…（％+（9）命题还可以继续发展下去，但过分繁琐容易产生厌倦情绪，要适可而止，恰到好处。这些不等式的证明的可让学生在课后思考、回味。至此，不仅一些帘用的经典不等式己曲上