数学归纳法的知识体系.doc

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1、数学归纳法的知识体系一、数学归纳法证明是全理性的证明数学归纳法是一种重要的证题方法，许多涉及正整数的问题，往往使用它．人们验算起始命题成立后，只要证明了递推依据<由成立，可推出成立）就完成了数学归纳法的证明<1）．那么，数学归纳法的逻辑基础是什么？下面从两个方面给予说明．b5E2RGbCAP1．数学归纳法合理性是建立在以下自然数公理系统

2、作为中多于一个元素的后继数）<4）任给，则<即1不是中任一元素的后继数）<5）若的任一子集具有性质<1）、<2），则<即集合就含有集合的所有元素）下面用Peano公理证明数学归纳法的合理性：记表示含自然数的某一命题，若<1）P<1）为真命题；<2）任给，若真，则真．则对一切真．证：记，由①知。又由②，对一切，由Peano公理5可知，即应该包含一切自然数．对一切自然数都正确．2．数学归纳法的合理性也可用自然数最小数原理来证明，它的逻辑基础是自然数的最小数原理．用反证法证明如下：DXDiTa9E3d设满足<1）、<2）的命题不是对所有自然

3、数都成立．记根据自然数最小数原理：非空的某些自然数组成的集合中一定存在最小自然数，故中一定存在一个最小自然数．不妨设为，显然，否则，则，即，知不真，这与条件<1）矛盾．由知，于是，又是使不真的自然数中的最小者，所以就使题为真，即真，由<2）知4/4为真，所以，这与矛盾．故对所有自然数都成立．RTCrpUDGiT二、数学归纳法的其他形式1．不一定从1开妈．初值可据实际情况适当提前或推后，例如，求证：对一切，能被14整除．第一步验证时，因数字太大，不易验算，可将初值提前至，这样，通过证明命题对一切的整数成立，从而证明命题对一切成立．5PC

4、zVD7HxA2．不一定由推．对于某些命题：<1）验证时，命题成立；<2）设时成立，证明时，命题成立，根据<1）、<2）可断定对一切，命题成立．例求证：适合的整数解组数证：<ⅰ）时，仅不一组解，即，命题成立．时，有两组解，即，命题成立．<ⅱ）设时，时，的解分两类．时，解组数为1；时，解的组数为时，命题成立．根据<ⅰ）、<ⅱ），命题对一切均成立．一般地，若：<1）验证时命题成立．<2）若成立，则成立．根据<1）、<2）可知，时，命题成立．3．反向归纳法对于命题，若：<1）对无穷个值真．<2）若真，则真．根据<1）、<2），对，真．4/4

5、例如，用数学归纳法证明：为非负实数，有在证明中，由真，不易证出真；然而却很容易证出真，又容易证明不等式对无穷多个<只要型的自然数）为真；从而证明，不等式成立．jLBHrnAILg<证明过程略）4．双重归纳法设是一个含有两上独立自然数的命题．<1）与对任意自然数成立；<2）若由和成立，能推出成立；根据<1）、<2）可断定，对一切自然数均成立．例设，求证方程的非负整数解的组数为<证明过程略）5．第二数学归纳法对命题<1）时，成立；<2）设时，成立，则成立；根据<1）、<2），对成立．例题设，求证：可表示为的次多项式．证：<1）时，命题成立

6、．<2）设时，命题成立．那么当时，由归纳假设知，为的次多项式，故为的＋1次多项式．又为的－1次多项式，∴它们的和为的＋1次多项式，即时，命题成立．xHAQX74J0X4/4根据<1）、<2），对任意都可表示为的次多项式．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。4/4