浙江专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第7讲立体几何中的向量方法第1课时空间角练习含解析.doc

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1、第1课时空间角[基础达标]1．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，－1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(－1，0，1)，所以＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以〈，〉＝60°，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.2．在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的

2、中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　)A．B．C．D．11解析：选C.以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D，E，F.所以＝(0，0，－2)，＝，＝.设平面DFE的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，则n＝(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝＝，所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为B

3、B1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，11D(0，1，0)，所以＝(0，1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则所以所以n1＝(1，2，2)．因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.答案：4．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，若BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为________．解析：如图

4、，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，E为AC的中点，连接BE，则BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C，可得·＝(＋)·＝·＝1××＝＝××cosθ(θ为与的夹角)，所以cosθ＝＝sinα，所以所求角的正切值为tanα＝＝.答案：5．已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值．11解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E，F.(1)因为＝(0，1，－1)，＝，所以cos〈，〉＝＝，即AD1

5、与EF所成的角为60°.(2)＝，由图可得，＝(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为θ，则sinθ＝

6、cos〈，〉

7、＝＝，所以cosθ＝.即AF与平面BEB1所成角的余弦值为.6．(2019·宁波市余姚中学高三期中)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)设点M是线段PC上的一点，PM＝tPC，且PA∥平面MQB.①求实数t的值；②若PA＝PD＝AD＝2，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角MBQC的大小．解：(1)证明：连接BD

8、，因为四边形ABCD为菱形，11∠BAD＝60°，所以△ABD是正三角形，又Q为AD中点，所以AD⊥BQ.因为PA＝PD，Q为AD中点，所以AD⊥PQ.又BQ∩PQ＝Q，所以AD⊥平面PQB，AD⊂平面PAD，所以平面PQB⊥平面PAD.(2)①当t＝时，使得PA∥平面MQB，连接AC交BQ于N，交BD于O，则O为BD的中点，又因为BQ为△ABD边AD上的中线，所以N为正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则AN＝a，AC＝a.因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，所以PA∥MN，＝＝＝，即PM＝PC，t＝.②因为PQ

9、⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz，由PA＝PD＝AD＝2，则B(0，，0)，C(－2，，0)，P(0，0，)，设M(a，b，c)，则＝(a，b，c－)，＝(－2，，－)，因为PM＝PC，所以＝，所以a＝－，b＝，c＝，所以M，设平面MQB的法向量n＝(x，y，z)，11由＝，＝(0，，0)，且n⊥，n⊥，得，取z＝1，得n＝(，0，1)，又平面ABCD的法向量n＝(0，0，1)，所以cos〈m，n〉＝＝，由图知二面角MBQC的平面角为锐角，所以二面角MBQC的

10、大小为60°.[能力提升]1．(201