数值微分和微分方程.doc

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1、第四章数值微分和微分方程第一节数值微分理论基础：Taylor展开导数定义我们取均匀的记∴这是两点公式（即Euler方法），是的量级。来源于(4.1.1)的项。若希望提高精度，可设法消除这一项(4.1.2)∴(4.1.1)+(4.1.2)可得上式，来自的项，这称3点公式。注意：这时的项都被消去了。5点公式对二级导数3点公式由(4.1.1)－(4.1.2)可得上式5点公式（习题）第二节初值问题微分方程大体可分三类l初值问题l边值问题l本征值问题我们这里关心初值问题与简单的数值微分比较，还是y(t)的函数时间分立化，令Euler方法这方法误差太大，如何

2、提高精度呢？我们可以参考简单的数值微分的思想，但这里是未知数，与有关，问题相对复杂。Picard方法证明：微分方程可写为取数值积分零阶近似一阶近似∴∵∴从直观看，用近似比只用或好。但是，这一方法需要知道，即Predictor-Corrector方法简单方法用Euler方法，求，再用Picard方法得到更准确的。改进方法取∴做积分得到∵这类方法的缺点是，我们需要估计多点的初始条件，这本身便会带来误差。第三节Runge-Kutta方法这方法可以避免多点初始条件级数展开如果我们希望准确到项，只需计算和。近似计算和的方法不唯一设∴我们必须取例如：取∴只需

3、要初始条件即可求解方程。第四节边值和本征值问题典型的边值问题由二阶微分方程给出不失一般性，设边界在和处。边界条件有四类（1）（2）（3）（4）边值问题比初值问题难，因为我们不能简单用‘迭代’方法求解。‘迭代’需要已知和。本征值问题比边值问题还难，需要求解带特殊参数的微分方程这里在边界条件确定时，只能取特殊值方程才有解。例如，量子力学的本征方程，给出量子化的物理量。Theshootingmethod对第（1）类边值问题，1）设然后用初值问题中的迭代方法求解方程。当然，得到的结果一般和给定的边值不一致。2）改变，求的根Newton方法设是f(x)的零

4、点，x是零点附近的尝试点，可作级数展开，当x足够靠近，高阶项可略去，可看作更靠近零点的尝试点。所以，即Secant方法我们可以近似计算，Newton方法和Secant方法的比较lNewton方法是一点方法,即只需要已知和lSecant是两点方法，好处是不必已知。求的根，可用Secant方法