通路、回路与图的连通性.ppt

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1、8.2通路、回路与图的连通性简单通(回)路,初级通(回)路,复杂通(回)路无向连通图,连通分支弱连通图,单向连通图,强连通图点割集与割点边割集与割边(桥)1通路与回路定义给定图G=（无向或有向的），G中顶点与边的交替序列=v0e1v1e2…elvl，(1)若i(1il),vi1,vi是ei的端点(对于有向图,要求vi1是始点,vi是终点),则称为通路,v0是通路的起点,vl是通路的终点,l为通路的长度.又若v0=vl，则称为回路.(2)若通路(回路)中所有顶点(对于回路,除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回

2、路).初级通路又称作路径,初级回路又称作圈.(3)若通路(回路)中所有边各异,则称为简单通路(简单回路),否则称为复杂通路(复杂回路).2通路与回路(续)说明:表示方法①用顶点和边的交替序列(定义),如=v0e1v1e2…elvl②用边的序列,如=e1e2…el③简单图中,用顶点的序列,如=v0v1…vl④非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5环是长度为1的圈,两条平行边构成长度为2的圈.在无向简单图中,所有圈的长度3;在有向简单图中,所有圈的长度2.3通路与回路(续)在两种意义下计算的圈个数①定义意

3、义下在无向图中,一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的圈.如v0v1v2v0,v1v2v0v1,v2v0v1v2看作3个不同的圈.在有向图中,一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的圈.②同构意义下所有长度相同的圈都是同构的,因而是1个圈.4通路与回路(续)定理在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路.推论在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路.定理在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度

4、小于等于n的回路.推论在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.5无向图的连通性设无向图G=,u与v连通:若u与v之间有通路.规定u与自身总连通.连通关系R={

5、u,vV且uv}是V上的等价关系连通图:平凡图,任意两点都连通的图连通分支:V关于R的等价类的导出子图设V/R={V1,V2,…,Vk},G[V1],G[V2],…,G[Vk]是G的连通分支,其个数记作p(G)=k.G是连通图p(G)=16短程线与距离u与v之间的短程线:u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v

6、之间的距离d(u,v):u与v之间短程线的长度若u与v不连通,规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)0,且d(u,v)=0u=vd(u,v)=d(v,u)d(u,v)+d(v,w)d(u,w)7点割集记Gv:从G中删除v及关联的边GV:从G中删除V中所有的顶点及关联的边Ge:从G中删除eGE:从G中删除E中所有边定义设无向图G=,VV,若p(GV)>p(G)且VV,p(GV)=p(G),则称V为G的点割集.若{v}为点割集,则称v为割点.8点割集(续)例{v1,v4},{v6}是

7、点割集,v6是割点.{v2,v5}是点割集吗？9边割集定义设无向图G=,EE,若p(GE)>p(G)且EE,p(GE)=p(G),则称E为G的边割集.若{e}为边割集,则称e为割边或桥.在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？几点说明：Kn无点割集n阶零图既无点割集，也无边割集.若G连通，E为边割集，则p(GE)=2若G连通，V为点割集，则p(GV)210有向图的连通性设有向图D=u可达v:u

8、到v有通路.规定u到自身总是可达的.可达具有自反性和传递性D弱连通(连通):基图为无向连通图D单向连通:u,vV，u可达v或v可达uD强连通:u,vV，u与v相互可达强连通单向连通弱连通11有向图的连通性(续)定理(强连通判别法)D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路定理(单向连通判别法)D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路(1)(2)(3)例下图(1)强连通,(2)单连通,(3)弱连通12有向图的短程线与距离u到v的短程线:u到v长度最短的通路(u可达v)u与v之间的距离d:u到v的短程

9、线的长度若u不可达v,规定d=∞.性质：d0,且d=0u=vd+dd注意:没有对称性138.3图的矩阵表示无向图的关联矩阵有向