对数函数值域为R的意义.doc

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1、对数函数值域为R的意义Q提问：对于问题“若函数f(x)=logO.5(ax2+2x+l)的值域为R,求实数a的取值范围”，我的解法是：因为在对数函数中要求真数elx2+2x+1>0,所以ei〉O,A=4-4al.而正确答案是0WaWl・请问我错在哪里？A冋答：问题要求的是“对数函数的值域为R时，a的取值范围”，而你求的是“对数函数的定义域为R时，a的取值范围”，这是两码事，所以你的解法当然有错.先来讨论对数函数的定义域为R的情况.因为在对数函数中要求真数恒大于0,函数f(x)=log0.5(ax2+2x+l)的定义域为R，说明当X取任意值

2、时，g(x)二且x2+2x+l>0恒成立，即真数ax2+2x+l恒大于0.要强调的是，真数elx2+2x+1恒大于0时，意味着函数g(x)=ax2+2x+l的图象开口向上且不与x轴相交，g(x)不可能取到所有止数，所以此时真数必定不能取到所有正数值.下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.若要使对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+l)的值域为R,真数ax2+2x+l对应的函数g(x)二eix2+2x+1应能取到所有正数值.若且〉0,△二4-4&0恒成立，二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴无交点，g(x)能取到的最小正数值为g

3、(x)min=g-=l-.因为f(x)=log0.5(ax2+2x+l)在--上为增函数，在-，+°°上为减函数，所以f(x)max=logO.5g(x)min=logO.5g~,即f(x)存在最大值，这说明它的值域不为R・若且>0,A二4-4且20,则二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴至少有一个交点，故g(x)能取到所有正数•当真数能取到所有正数时，对数函数的值域为R,即f(x)=log0.5(ax2+2x+l)的值域为R.解得0若且二0,则g(x)二2x+l・当x>-时，g(x)>0恒成立，由函数图象可知，此时g(x)二2x+l能

4、取到所有正数，f(x)的值域为R.若a〈0,则二次函数g(x)的图象开口向下.当A=4-4a<0时，g(x)<0,对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+l)不成立；当厶=4-4a^0时,g(x)与x轴至少有一个交点，因为g(x)max二g-二1-，故g(x)不能取到所有正数，f(x)的值域不为R.综上可得，只有当OWaWl时，对数函数f(x)的值域为R,此时真数ax2+2x+l能取到所有正数值.要使对数函数的值域为R,真数应能取到所有正数值.