计算机数学基础下第5编数值分析课件.ppt

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1、计算机数学基础(下)第5编数值分析第13章方程求根本章主要内容：二分法简单迭代法收敛定理快速迭代法牛顿法重点：简单迭代法、牛顿法难点：快速迭代法，迭代法收敛的判断教学资源中央电大电大在线平台上的文字材料：《计算机数学基础(2)》方程求根(02-13)，IP课件：计算机数学基础(下)辅导1安徽电大的辅导材料安徽电大网站—教学服务—开放教育—本科计算机科学与技术—计算机数学基础(2)中的第4次辅导安徽电大影音在线—计算机专科—计算机数学基础—计算机数学基础(下)07本校资源库中的IP课件：计算机数学基础(2)第二讲1

2、3.1二分法本章的学习目的是要通过数值解法，求已知方程根的近似值。设函数在上连续，且,根据高等数学中的零点定理，方程在中必有一根。怎样求这个根呢？我们取区间的中点x0，把分成两个小区间，如果f(x0)=0，则x0是方程的根否则，小区间中必有一个两端点的函数值异号，方程的根就在这个小区间中。再取中点，二分下去，直到小区间的长度小于精度要求时，小区间的中点就是方程根的近似值。这种解法称为二分法。二分法的算法步骤为：①准备：计算②二分：计算③判断：④否则，转向步骤②，继续。二分次数n与精度要求有关。若给定误差限，二分次

3、数n用下式计算：例1求方程的近似解，精确到0.001。解：列表计算，[2001年7月试卷填空题9]设函数在区间上连续，若满足,则方程在区间上一定有实根。f(0)f(1)<0[2001年7月试卷证明题15]设方程在区间上有唯一实根，如果用二分法求该方程的近似根，要求绝对误差为0.001，证明至少要二分10次。证明：设方程的精确解为，近似根所以，取n=10，至少要二分10次。13.2迭代法13.2.1简单迭代法设方程在区间上有根，如果方程可以表示成，且在区间上有，在区间内任取一点x0作为初始值，建立迭代格式得到数列，

4、当时，数列的极限就是方程即的根。这种方程求根的解法称为简单迭代法，称为迭代函数。书上P.150把这里写成了n迭代法的算法步骤为：①准备：选定初值②迭代：计算③判断：检验，转向步骤②，继续④迭代的几何意义：例1用迭代法求方程的根，精确到0.001。解：设，，有根区间为迭代公式在中迭代收敛。取初始值x0=1.5迭代，x1=1.8239,

5、x1-x0

6、=0.3239以x1=1.8239迭代，x2=1.7390，

7、x2-x1

8、=0.0849以x2=1.7390迭代，x3=1.7597,

9、x3-x2

10、=0.0207……以x

11、5=1.7558迭代，x6=1.7555,

12、x6-x5

13、=0.0003方程根的近似值为x=1.755513.2.2收敛定理设迭代函数满足：⑴当时，有⑵存在正数，使得对于任意，都有，则：⑴方程在内有唯一解；⑵对于任意初值，迭代格式的迭代数列收敛到，且有误差估计式13.2.3快速迭代法简单迭代法虽然简单，但由于迭代收敛的缓慢使迭代次数增加，计算量变得很大，因而产生了快速迭代法。设在有根区间内变化不大，其近似值记为取初值x0,函数作一次迭代，得到的值称为校正值。对校正值用下式进行计算，得到改进值，则更精确，更逼近精确解

14、。如此进行多次迭代，有：校正值：改进值：但由于对的估计比较困难，我们常用下面的方法：校正值：再校正值：改进值：上述方法称为快速迭代法(艾特肯法)。13.3牛顿法设函数在点x0附近可导，且,那么若x1是方程的根，则。将上式中的x取x1得：作为方程的近似根。如此继续下去，有公式得到数列，这种求方程近似根的方法称为牛顿法或牛顿切线法。牛顿法的算法步骤为：①准备：选定初值x0,计算②迭代：按公式得x1，记③控制：否则，转向步骤④，④修改：否则，转向步骤②，，继续。例1用牛顿法求解方程，精确到0.001解：取x0=1.5，

15、利用牛顿迭代公式，得近似根x1如此继续下去，故方程的根为例2计算的近似值。解：此类习题，关键是要建立一个便于迭代的函数。[牛顿迭代的收敛定理]设函数在区间上存在二阶导数，且满足：⑴⑵⑶⑷则牛顿迭代数列收敛到方程在内的唯一的根。牛顿迭代法初值的选取方法：根据由前面的收敛定理可知，f(x0)的选取要和f”(x)同号，因此，在这两种情况下都应选取x0=b由前面的收敛定理可知，f(x0)的选取要和f”(x)同号，因此，在这两种情况下都应选取x0=a[小结]若同号，应选取初值x0=b，若异号，应选取初值x0=a。作业：P.

16、150、P.154、P.159、P.172带※的练习题