数控技术(检测1)概要.ppt

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1、4.3Bezier曲线1962年法国雷诺汽车公司的P．E．Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线。以这种方法为主，完成了一种曲线和曲面的设计系统，并于1972年在该公司应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上运用起来就象使用常规作图工具设计一样得心应手。4.3.1Bezier曲线的定义及其性质1定义如图所示的几条Bezier曲线，是由一组折线集，或称之为Bezier特征多边形来定义的。曲线的起点和终点与该多边形的起点、终点重合，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线

2、在起点和终点处的切矢量方向。曲线的形状趋于特征多边形的形状。当给定空间n十1个点的位置矢量p，则Bezier曲线各点坐标的插值公式是：Pi构成特征多边形，Bi,n是Bernstein基函数，也是曲线上各点位置矢量的调和函数。Bernstein基函数具有以下性质：1）正性2）权性由二项式定理，得3）对称性2.Bezier曲线的性质根据Bezier曲线调和函数的性质，可推出1）端点性质根据调和函数的正性，得，说明Bezier曲线的起点、终点与其相应的特征多边形的起点、终点重合。2）对称性若将原Bezier曲线

3、的全部顶点Pi位置不变，只要把次序颠倒过来，新的特征多边形的顶点，P*i＝Pn-i,(i＝0,1,2,…n);则新的Bezier曲线形状不变，只是走向相反。3）凸包性这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，C(t)是特征多边形各项点Pi的加权平均，权因子是Bi，n(t)。在几何图形上，意味着Bezier曲线C(t)是Pi各点的凸线性组合，且曲线上的各点均落在Bezier曲线特征多边形构成的凸包之内。4.4B样条曲线以Bernstein调和函数构造的Bezier曲线曲线有许多优越性但有两点不足

4、：（1）特征多边形顶点个数决定了Bezier曲线的阶次，并且当n大时．特征多边形对曲线的控制将会减弱；（2）Bezier曲线不能作局部修改，即改变某一个控制点的位置对整条曲线都有影响，其原因是调和函数Bi，n(t)在t∈[0,1]整个区间内均不零。1972年，Gordon，Riesenfeld等人拓扩了Bezier曲线，用B样条函数代替Bernstein函数，从而改进了Bezier特征多边形与Bernstein多项式次数有关，且是整体逼近的弱点：均匀B样条函数节点沿参数轴是均匀等距分布，即ti+1－ti＝

5、常数,则表示均匀B样条函数。均匀非周期B样条节点的取值有如下规律：(L=n-k+1)当节点沿参数轴的分布是不等距的，即ti+1－ti≠常数时，则表示非均匀B样条函数。4.4.1B样条曲线的性质1、局部性即：Ni，k(u)在区间(ti，ti+k)中为正，在其他地方Ni，k(u)=0这就使得k阶B样条曲线在修改时只被相邻的K个顶点所控制，而与其他顶点无关。当移动一个顶点时，只对其中的一段曲线有影响，并不对整条曲线产生影响。如图所示是一条均匀B样曲线。2、几何不变性B样条曲线C(u)的形状和位置与坐标系的选择无

6、关；3、整体凸包性和强凸包性整条曲线落在P0，P1，…Pn形成的凸包之内，且每一条曲线都位于定义该曲线段的各定点的凸包之内；当没有内点，只有4重起点和4重终点时，三次B样条曲线退化为一条Bezier曲线，即B样条曲线是Bezier曲线的改进与推广。均匀B样条函数，其特点是:(1)节点的参数轴的分布是等距的;(2)不同节点矢量生成的B样条基函数所描绘的形状是相同的;在构造每段曲线时，若采用均匀B样条函数，由于各段所用的基函数部一样，计算简便。4.5非均匀有理B样条(NURBS)曲线非均匀B样条函数节点参数沿

7、参数轴的分布是不等距的，因而不同节点矢量形成的B样条函数各不相同，需要单独计算，其计算量比B样条大得多。尽管如此，近年来NURBS(NonUniformRationalBSample)有了较快的发展和较广泛的应用，主要原因是：(1)对标准的解析形状(如圆锥曲线、二次曲面、回转面等)和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，无论是解析形状还是自由格式的形状均有统一的表示参数，便于工程数据库的存取和应用；(2)可通过控制点和权因子来灵活地改变形状；(3)对插入节点、修改、分割、几何插值等的处理工具比较有力；(4)

8、非有理B样条、有理及非有理Bezier曲线、曲面是NURBS的特例表示。NURBS中主要问题比一般的曲线、曲面处理时间长。4.6曲线曲面生成曲线曲面生成技术是曲面造型技术中的基础关键技术，它包括曲线曲面的反算及曲线曲面的各种生成方法。4.6.1曲线生成曲线生成有两种实现方法，一种是由设计人员输入曲线控制顶点来设计曲线，此时曲线生成即曲线正向计算过程；另一种则是由设计人员输入曲线上的型值点来设计曲线，此时曲线生成就是所谓的曲线反