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《2015高中数学1.3算法案例课件新人教A版必修.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3算法案例——秦九韶算法[问题1]某位同学求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值，设计一个算法后写出程序如下：x=5f=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1PRINTfEND程序上述算法一共做了次乘法运算,次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.105能否找到更高效的算法?[问题2]怎样找到更高效的算法?分析:计算x的幂时,应充分利用前面的计算结果,以减少计算量,如：先计算x2,然后依次计算的值.此时算法一共做了次乘法运算,次加法运算.45f(x)=x5+x4+
2、x3+x2+x+1可变形为f(x)=(x4+x3+x2+x+1)x+1=((x3+x2+x+1)x+1)x+1=(((x2+x+1)x+1)x+1)x+1=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0.我们可以改写成如下形式:f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即一般地,对于一个n次多项式v2=v1x+an-2,v3=
3、v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0.这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534
4、×5+7=2677所以,当x=5时,多项式的值是2677.这种求多项式值的方法就是秦九韶算法.例1:用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.变形前的计算，需要多少次乘法计算和多少次加法计算？变形后利用秦九韶算法计算n次多项式当x=x0时，需要多少次乘法计算和多少次加法计算？所以,当x=5时,多项式的值是2677.原多项式的系数例1:用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.2-5-43-67x=5105252110510854053426702677多
5、项式的值.解法二:列表2V0V1V2V3V4V5所以,当x=5时,多项式的值是15170.练:用秦九韶算法求多项式f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.解:原多项式先化为:f(x)=2x6-5x5+0×x4-4x3+3x2-6x+0列表2-50-43-60x=510525251251216056083040303421517015170注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.若令v0=an,得递推式v0=an,vK=vK-1x+an
6、-k(k=1,2,……,n）这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.试写出程序框图。变式训练，深化提高程序框图否开始输入n,x,ani>=0?v=ani=n-1i=i-1输出v结束是v=vx+ai输入ai程序：对比课本第39页2.试搜索材料了解秦久韶，谈谈你对他的伟大之处的认识。【点评】秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.思考：
7、例1计算时，进行了多少次乘法计算？多少次加法计算？例1:用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
