二次函数与圆(有答案版本).doc

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1、二次函数与圆有关的问题题1：（本题满分10分）　　如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O三点．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；(3)抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．1题图解：（1）A（6，0），B（0，6）……………………1分连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．

2、又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3）……………………2分抛物线过点O，所以c=0,又抛物线过点A、C，所以，解得：所以抛物线解析式为　　…………………3分（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6　……………………4分所以OD=OB=OA，∠DBA=90o．　……………………5分又点B在圆上，故DB为⊙C的切线　……………………6分（通过证相似三角形得出亦可）（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，则∠CAP=90o或∠COP=90o,……………………7分若∠CAP=90o,则OC∥AP，因O

3、C的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．又AP过点A（6，0），则b=－6,……………………8分方程y=x－6与联立解得：，，故点P1坐标为（－3，－9）……………………9分若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）(用抛物线的对称性求出亦可)故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．…………10分题2：(8分)如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置．(1)求C1点的坐标；(2)求经过三点O、A、C`的抛物线的解析

4、式；(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；(4)抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF∶S△OAB＝16∶3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第26题图①第26题图②第26题图③解：(1)C`(3，)(2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx把A(2，0)，C`(3，)带入，得解得a＝，b＝－∴抛物线解析式为y＝x2－x(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°又AB＝2∴AF＝4∴OF＝2∴F(－2，0)设直线BF的解析式为y＝kx＋b把B(1，)，F(－2，0)带入，得解

5、得k＝，b＝∴直线BF的解析式为y＝x＋(4)①当M在x轴上方时，存在M(x，x2－x)S△AMF：S△OAB＝[×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2当x1＝4时，y＝×42－×4＝；当x1＝－2时，y＝×(－2)2－×(－2)＝∴M1(4，)，M2(－2，)②当M在x轴下方时，不存在，设点M(x，x2－x)S△AMF：S△OAB＝[－×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3得x2－2x＋8＝0，b2－4ac＜0无解综上所述，存在点的坐标为M1(4，)，M2(－2，)．题3：抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），

6、△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。（1）判断△ABM的形状，并说明理由。（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。解：（1）令得由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形（2）设∵△ABM是等腰直角三角形∴斜边上的中线等于斜边的一半又顶点M(－2，－1)∴，即AB＝2∴A(－3，0)，B(－1，0)将B(－1，0)代入中得∴抛物线的解析式为，即图略（3）设

7、平行于轴的直线为解方程组得，（∴线段CD的长为∵以CD为直径的圆与轴相切据题意得∴解得∴圆心坐标为和题4如图10，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；图10（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P