随机变量及其分布 复习.ppt

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1、1．随机事件如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量，它常用字母X，Y，ξ，η，…表示．2．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则这样的随机变量X叫做离散型随机变量．3．离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值规律为(1)X所有可能取的不同值为x1，x2，…，xn；(2)X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率p(x＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列，简称X的分布列.Xx1x2…xi…xnPp1p2…p

2、i…pn根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.4．二点分布如果随机变量X的分布列为其中0

3、数为N，M，n的超几何分布．6．条件概率(1)定义对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B

4、A)”表示．(2)交事件由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．(3)条件概率公式一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．7．事件的独立性(1)设A，B为两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B

5、A)，这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．(2)相互独

6、立事件同时发生的概率的计算公式是P(AB)＝P(A)P(B)．(3)推广：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．8．独立重复试验一般地，在相同条件下，重复地做n次试验，各项试验的结果相互独立，那么一般称它为n次独立重复试验．一般地，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．9．随机变量的数字特征(1)期望一般地，若离散型随机变

7、量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(2)方差、标准差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnD(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差．它反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)．D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差．(3)二项分布与超几何分

8、布一般地，如果随机变量X服从二点分布，那么E(X)＝p.若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则.⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值正态变量在区间(－μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为68.3%；正态变量在区间(－μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率为95.4%；正态变量在区间(－μ－3σ，

9、μ＋3σ)内取值的概率为99.7%.[例1](武汉调研)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．[分析]用字母设出事件，根据互相独立事件概率公式求解．(2)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.∴甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.(3)设“甲

10、在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i＝0,1,2)，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i＝0,1,2)．