曲面的面积重心转动惯量引力.ppt

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1、曲面的面积重心转动惯量引力§1重积分的应用9/7/20211求由方程所确定的曲面S的面积对区域D作分割T,一、曲面和面积9/7/20212曲面面积的计算公式先计算Ai的面积.9/7/20213所以若曲面方程为则该曲面的面积S为9/7/20214说明:则曲面面积S：如果曲面方程为如果曲面方程为则有公式：9/7/20215例1求圆锥在圆柱体内那一部分的面积.解所求面积的曲面的方程为所以9/7/20216例.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.9/7/20217设空间有n个质点,由力学知,分

2、别位于其质量分别为该质点组的重心坐标为二、重心9/7/20218设空间物体V,有连续密度函数采用“分割,近似代替,求和,取极限”可导出其重心坐标公式.求V的重心坐标.将V分成n小块,将第k块看作质量集中于点的重心坐标.例如,此质点组的重心坐标就近似该物体的质点,其质量为在第i块上任取一点9/7/20219令各小区域的最大直径即得其中m为物体V的质量，同理可得9/7/202110则其中V表示区域V的体积9/7/202111若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(SD为D的面积)则则它的重心坐标为其面密度为9/7/

3、202112例.求位于两圆和之间均匀薄片的重心.解:利用对称性可知而9/7/202113质点A对于轴l的转动惯量J惯量可用积分计算.质点组的转动惯量等于各质点和A与转动轴l的距离r的平方的乘积,即三、转动惯量的转动惯量之和,故连续体的转动等于A的质量m9/7/202114设在该物体位于(x,y,z)处取一微元，因此该物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为其体积记为dV，质量为到z轴的距离为从而为空间物体V的密度函数，求V对z轴的转动惯量.9/7/202115类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动

4、惯量一般说来，若V中的点(x,y,z)到转动轴l的距离为则转动惯量为9/7/202116对坐标平面的转动惯量分别为对xy平面的转动惯量对yz平面的转动惯量对xz平面的转动惯量9/7/202117如果物体D是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.一般说来，若D中的点(x,y)到转动轴l的距离为则转动惯量为9/7/202118例4求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量解设圆环D为密度为ρ，则D中任一点(x,y)与转轴的距离为于是转动惯量9/7/202119例.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:

5、建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.设薄片的密度为ρ，则9/7/202120例6.设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量解建立坐标系如图,设球体为密度为k为比例常数.切平面方程为z=R,则球体对于该切平面的转动惯量为9/7/202121求密度为的物体V对物体外质量为1的的单位质点A的引力在该物体位于(x,y,z)处取一微元，其体积记为dV，质量为对质点A的引力为设A点的坐标为四、引力9/7/202122该引力在坐标轴上的投影为其中k为引力常数，于是所求力在坐标轴上的投影分别为9/7/2

6、02123所以9/7/202124例7.求密度ρ的均匀球体V：的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量对位于点9/7/2021259/7/202126