数学建模最佳选址类问题分析.ppt

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1、最佳选址问题一、问题的提出如图1，有一条河，两个工厂P和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂P和Q距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q输水，请你给出一个经济合理的设计方案。8l10Q14P河图1R即找一点R，使R到P、Q及直线l的距离之和为最小。二、提出方案8l10Q14P河图1水泵站R建立在河边（即L上），则问题转化为在L上找一点R，使

2、RP

3、＋

4、RQ

5、为最小。方案一：8l10Q14P河图1水泵站R不建在河边，则问题转化为要在L的P、Q一侧找点R，使R到P、Q及L的距离之和最小。

6、方案二：8l10Q14P河图2RR三、论证方案8l10Q14P河图1R8l10Q14P河图2R方案一：方案二：１、对于方案一：联想平几知识，用光学性质建模：作点Q关于直线L的对称点Q'，连PQ'交L于R，则R为所求（如图２）．这样所需直线输水管的总长度为：S(R)＝

7、PQ'

8、＝22.72千米。lPQRQ'S2、对于方案二PQRQ'这里建立的是关于x、y的二元函数模型，但求解困难。yxO思路一：图３建立如图３的坐标系，则易得P（0，10）、Q（8，8）设点R(x,y)，则S(R)＝

9、PR

10、+

11、RQ

12、+

13、RM

14、＝。用判别式法可得S(R)≥21或S(R)≤－3.因为S(

15、R)≥0故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y＝5，于是Q'(,2)PQ'的直线方程为y＝，把y＝5代入得x＝5，故

16、RP

17、==10(km),

18、RQ

19、==6(km),R到河岸的距离为5(km)。yx如图4，过R作L‘//x轴，则问题转化为在L'上找点R，使RP＋RQ为最小。作Q关于L'的对称点Q'，则S(R)＝

20、RP

21、＋

22、RQ

23、＋y≥

24、PQ'

25、＋y，取这样的R，使S(R)＝

26、PQ'

27、＋y则S(R)＝(1)思路二PQRMl'图4Q若把

28、PR

29、＋

30、RQ

31、看作定值，则R在以P、Q为焦点的椭圆上，故这需在椭圆找点R，作R到L的距离最小，因此可考虑运用椭圆的定义和直线与

32、椭圆的关系建模。思路三：PQ图5o如图5所示，建立直角坐标系，P、Q为椭圆的焦点，L//L，且L'切椭圆于R，根据题意，易求出直线L为：x－4y－63＝0(1)设L'为：x－4y＋n＝0(2)yxLLR椭圆方程为：(3)联立(2)(3)，化简得(4)根据L'为椭圆的切线，得△＝0解得：n2＝49（a2－48）。由题意n<0，则n＝－7，所以直线L'为：x－4y－7＝0.所以L'与L的距离为：故输水管的总长度：S(R)＝2a＋9－(5)用△法，可得S(R)≥21或S(R)≤－3，由于S(R)≥0，则S(R)≥21，即S(R)的最小值为21,代入(5),解得a＝8,从

33、而d＝5,进一步可求出

34、PR

35、＝10,

36、PQ

37、＝6。四、论证结论R8l10Q14P河*****方案二更经济合理*****即选这样的点R，使R到河岸L的距离为5千米，到工厂P的距离为10千米，到工厂Q的距离为6千米，这时所需总水管的长度为21千米。