数学 是人类先进文化的典范,是科学研究的基础,是技术创新.ppt

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1、数学是人类先进文化的典范，是科学研究的基础，是技术创新的艺术。是发展基础教育，提高国民素质不可缺少的文化。第15讲环的理想分类：陪集空间群　论　方　法正规子群商群Ｇ／Ｎ单群分类扩张理论群结构的基本单元反馈过程环Ｒ的子环Ｉ是加群的子群环的陪集分解?商环Ｒ／Ｉ平移到环论中加群的商群设I是环R的子加群,希望在商群R/I上定义运算a,b∈R,(a+I)(b+I)=ab+I,使商群R/I作成一个环.这里必须分析定义的合理性,即c∈(a+I),d∈(b+I)有(a+I)(b+I)=(c+I)(d+I),即ab+I=cd+I.设c=a+s,d=b+r,s,r∈I,则有cd+I=(a+s)(b+r

2、)+I=(ab+ar+sb+sr)+I=(ab+ar+sb)+I.于是cd+I=ab+I(a,b∈R)(ab+ar+sb)+I=ab+I(a,b∈R,s,r∈I)ar+sb∈I.(a,b∈R,s,r∈I)ar,ra∈I.(a∈R,r∈I).(＊)定义1设I是环R的子集,如果(1)s－t∈I;(2)sa,as∈I;则称I为R的理想,定理2.6.1设I是环R的理想,在商群R/I上定义运算:a,b∈R,(a+I)(b+I)=ab+I,(a+I)+(b+I)=a+b+I,则(i)R/I作成一个环,称为R对I的商环.(ii)映射f:RR/I,aa+I是环同态,称为R到商环的自

3、然同态.证明直接验证即得.其零元是I,单位元是1+I.♥2.4理想和同态定理a∈R,s,t∈I有记为Ｉ◁Ｒ．例6每个环R都有两个理想：其中,{0}又叫零理想;R是唯一含有单位元的理想.只有平凡理想的环叫做单环域是单环.♥2.4理想和同态定理都叫做R的平凡理想.R和{0},定理2.6.2(环的同态基本定理)设f:RT是环同态,则(1)核ker(f)◁R；(2)R/ker(f)≌Im(f)。证明f(rs)=f(r)f(s)=0Trs∈ker(f),f(ar)=f(a)f(r)=f(a)0T=0Tar∈ker(f).同理,ra∈ker(f).所以,ker(f)◁R.(2)令：

4、R/ker(f)Im(f)，a+ker(f)f(a),则的定义是良性的：a+ker(f)=b+ker(f)ab∈ker(f)(a+ker(f))=(b+ker(f)).(1)r,s∈ker(f),a∈R.上述过程同时还证明了是单射.f(a)=f(b)f(ab)=0Tf(a)f(b)=最后,容易验证保持运算。显然,是满射.故是双射.故是同构.设S是环R的非空子集,在R的包含S的所有理想中,按包含关系,最小的一个称为由S生成理想,记为(S).由一个元素a生成的理想称为主理想.记为(a).♥2.4理想和同态定理生成理想命题设R是环,a∈R.则主理想=aR+

5、Ra.定义1设I是环R的子加群,如果sa∈I;则称I为R的a∈R,s∈I有记为Ｉas∈I;右理想,左理想,◁lＲ.◁rＲ.(a)r=aR是右理想,(a)l=Ra是左理想.(R可换)=aR=Ra(a)=∩{a}H◁RH定义♥2.6理想和同态定理设Ｒ是环,如果M≠R,且ＭH◁RＭ=H或H=R.Ｍ◁R.则R/I是域I是R的极大理想.定理设R是交换环,I是R的理想,则称M是R的极大理想.证明必要性.设R/I是域,IN◁R且N≠I,所以,I是R的极大理想.充分性.设I是R的极大理想,则I≠R交换环R/I至少有两个元,等价于求b∈R,m∈I使ab+m=1.为此,考虑N={ab+m:b

6、∈R,m∈I}.则N◁RN=R1∈N.得证.■定理设R是交换环,I是R的理想,则R/I是域I是R的极大理想.则N/I◁R/I,域是单环N/I=R/IN=R.求b∈R使(a+I)(b+I)=1+I,即ab+I=1+I,任取R/I的非零元a+I,aI,作业：P89,5.