高考数学道压轴题训练.doc

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1、2012年高考数学30道压轴题训练参考答案与试卷解读一、解答题（共30小题）1．（2004•天津）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，

2、OF

3、=2

4、FA

5、，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）由题意，可设椭圆的方程为，列出关于a，b的方程组，解出a，b值，从而求得椭圆的方程及离心率；（2）由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程

6、为y=k（x﹣3）．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直条件即可求得k值，从而解决问题．（2）先得出向量的坐标．由已知得方程组解得x2，最后经计算得出即可．解答：（1）解：由题意，可设椭圆的方程为．由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率．（2）解：由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x﹣3）．由方程组得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0依题意△=12（2﹣3k2）＞0，得．34/34设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，①．②由直线PQ的方程得y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3）．于是y1y2=k

7、2（x1﹣3）（x2﹣3）=k2[x1x2﹣3（x1+x2）+9]．③∵，∴x1x2+y1y2=0．④由①②③④得5k2=1，从而．所以直线PQ的方程为或（3）证明：．由已知得方程组注意λ＞1，解得因F（2，0），M（x1，﹣y1），故=．而，所以．点评：本小题主要考查椭圆的规范方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解读几何的基本思想方法和综合解题能力．2．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[0，2]时，f（x）=

8、x﹣1

9、．（1）当x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，求f（x）的表达式．（2）证明f（x）是偶函数．（3）试问方程是

10、否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由．考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合．分析：（1）推出函数的周期，通过当x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，利用已知函数的表达式，直接求f（x）的表达式．（2）利用（1）通过f（﹣x）=

11、﹣x﹣（﹣2k﹣1）

12、=

13、﹣x+2k+1

14、=

15、x﹣2k﹣1

16、=f（x）证明f（x）是偶函数．（3）化简方程，构造两个函数，画出函数的图象，即可判断方程是否有实数根，指出实数根的个数．解答：解：（1）对任意实数x，满足f（x）=1﹣f（x+1）=1﹣[1﹣f（x+2）]34/34

17、=f（x+2）=1﹣f（x+3）=1﹣[1﹣f（x+4）]=f（x+4）=…，也就是有f（x）=f（x+2T），其中T属于z．即f（x）是一个周期为2的周期函数．对于任意x属于[2k，2k+2]，有x﹣2k属于[0，2]，则f（x）=f（x﹣2k）=

18、（x﹣2k）﹣1

19、=

20、x﹣2k﹣1

21、所以，x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，f（x）=

22、x﹣2k﹣1

23、f（x）=

24、x﹣2k﹣1

25、（2k≤x≤2k+2，k∈Z）（2）由（1）可知函数是个周期为2的周期函数，可将f（x）通式写为f（x）=

26、x﹣2k﹣1

27、，x∈[2k，2k+2]取x∈[2k，2k+2]则﹣x∈[﹣2k﹣2，﹣2k]那么：f（﹣

28、x）=

29、﹣x﹣（﹣2k﹣1）

30、=

31、﹣x+2k+1

32、=

33、x﹣2k﹣1

34、=f（x）所以是偶函数．（3）方程化为f（x）=log4x，log4x=

35、x﹣2k﹣1

36、，x∈[2k，2k+2]，如图x=4时方程有一个根，x＞4时，方程无根，方程在[1，4]上有3个实根．点评：本题是中档题，函数解读式的求法，偶函数的判断，函数的零点与方程的根的关系，考查计算能力，作图能力．3．如图，已知点F（0，1），直线L：y=﹣2，及圆C：x2+（y﹣3）2=1．（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x

37、1x2为定值；（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的定义．专题：综合题．分析：（1）由动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，可得M到点F的距离与它到直y=﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知M的轨迹是以F为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，从而可求方程（2）由题意可得直线g的斜率存在，故可设直线g的方程为y=kx+1，联立直线与