(甘志国)刍甍羡除刍童及楔形四棱台的体积公式.doc

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1、刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式见甘志国著《立体几何与组合》(哈工大出版社，2014)第48-52页高考题1(2013·湖北·文·20)如图1，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且.过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．(I)证明：中截面是梯形；图1(II)在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为.在估测三角形区

2、域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算.已知，试判断与V的大小关系，并加以证明.请问，该题中的即是怎么来的呢？这由下面推导的羨除体积公式立得.《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.1.刍甍刍甍是图2中的五面体，其中，底面是平行四边形.设，直线之间的距离是，直线与平面之间的距离是，则其体积.图2图3证明如图3.设点在面上的射影分别是点.5/5我们把平面分成三块区域：区域指该平面位于直线左侧的部分(不包括直线)，区域指

3、该平面夹在直线之间的部分(包括直线这两条直线)，区域指该平面位于直线右侧的部分(不包括直线).应分六种情形来证明：(1)点均位于区域；(2)点位于区域，点位于区域；(3)点位于区域，点位于区域；(4)点均位于区域；(5)点位于区域，点位于区域；(6)点均位于区域.下面只对情形(5)予以证明：过点作于，交于；过点作于，交于，得，所以证毕！2.羨除羨除是图4中的五面体，其中，底面是梯形.设，直线之间的距离是，直线与平面之间的距离是，则其体积.图4图5证明用补形法可证.如图5，延长至，使，得刍甍，由刍甍的体积公式，得注羨

4、除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形(即图4中的5/5)时，羨除就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的极限情形.3.刍童刍童是图6中的六面体，其中面面，底面、底面均是平行四边形.设，面之间的距离是，之间的距离是，面之间的距离是，则其体积.图6图7证明如图7，可得面与平行平面的交线平行,所以.连结.由刍甍的体积公式，得注刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段(即图4中的)时，刍童就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的极限情形.

5、4.楔形四棱台楔形四棱台是图8中的六面体，其中面面，底面、底面均是梯形.设，面之间的距离是，之间的距离是，面之间的距离是，则其体积.5/5图8图9证明如图9，可得.连结.由羨除的体积公式，得注楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段(即图4中的)时，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍甍的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.由刍甍的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍甍的体积公式.高考题2(2013·全国卷·文理·4)如图10，在多

6、面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，，则该多面体的体积为()A.B.C.D.图10解A.由刍甍的体积公式可得(先算得).高考题3(1999·全国卷·文理·10)如图11，在多面体中，已知面是边长为3的正方形，，与面的距离为2，则该多面体的体积为()A.B.5C.6D.5/5图11解D.由刍甍的体积公式可得.美国邀请赛题图12中的多面体的底面是边长为的正方形，上面的棱平行于底面，其长为，其余棱长也都为，若，求这个多面体的体积.图12解288.由刍甍的体积公式可得(先算得).在该题中，当时就是高考题2.5/

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