2012年超越考研暑期强化班讲义练习题参考答案全部.pdf

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1、2012年暑期强化班讲义一元函数微积分、常微分方程练习题参考解答何先枝练习题参考解答―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――第一章函数、极限与连续―――――――――――――――――――练习1―――――――――――――――――1.〖解〗当x<0时，f(x)=1>0，从而，f[f(x)]=−1；当x=0时，f(0)=−1<0，从而，f[f(x)]=1；当x>0时，f(x)=−1<0，从而，f[f(x)]=1；⎧−1,x<0,于是，f[f(x)]=⎨■⎩1,x≥0.12.因为对任意大的正数M，

2、总存在点x=∈(0,1)（k充分大），使得kπ+2kπ2πf(x)=+2kπ>M（k充分大），k211故f(x)=sin在区间(0,1)上是无界函数。■xx――――――――――――――――――练习2――――――――――――――――――1.〖解〗法1（排除法，特例法）n反例1：x=(−1),y=0→排除（A）；nn反例2：x=0,y=n→排除（B）；nnn反例3：x=1,y=(−1)→排除（C）。nn法2（直接法）1limy=limxy⋅=0⋅0=0。■nnnn→∞n→∞xn――――――――――――――――――练习3―――――

3、―――――――――――――1x2(1−)−12ex−21.〖解〗原式=lim==e。■x→∞1x2e(1+)2x2.〖解〗法1（重要极限）x−ax+ax−a2sincossin222x+a原式=lim=lim⋅limcos=cosa。x→ax−ax→ax−ax→a22第1页共23页2012年暑期强化班讲义一元函数微积分、常微分方程练习题参考解答何先枝法2（洛必达法则）原式=limcosx=cosa。x→a法3（导数定义）原式=(sinx)′

4、=cosa。■x=a――――――――――――――――――练习4―――――――――――

5、―――――――1.〖解〗由等价无穷小和重要极限可得：1xsinx21原式=lim=。■2x→0x2πxπxln[1+(1−x)]1−x22.∵limtanln(2−x)=limsin=1⋅lim=,x→12x→12π(x−1)x→1π(x−1)π−sin−222∴原式=eπ。■―――――――――――――――――――练习5―――――――――――――――――1.〖解〗有理化可得2tanxtanx1原式=lim=2lim[⋅]=1.■x→0x(1+tanx+1−tanx)x→0x1+tanx+1−tanx2.〖解〗利用恒等变形及连

6、续性（lnx在x=e处）可得：1x原式=limln(1+)=lne=1。■x→+∞x――――――――――――――――――练习6――――――――――――――――――1.〖解〗由两角和三角公式可得：2nπsin[(n+1−n)π+nπ]=(−1)sin.2n+1+nnππ∵

7、(−1)

8、=1（有界），limsin=sinlim=sin0=0（无穷小），n→∞n2+1+nn→∞n2+1+n∴由无穷小性质可得：原式=0。■π1arctann2.〖解〗∵

9、arctann

10、<，lim=0，∴lim=0。■222n→∞1+nn→∞1+n――

11、――――――――――――――――练习7――――――――――――――――――1.〖解〗设a=max{a}，则i1≤i≤k1nnnnnn∵a≤(a+a+L+a)≤ka，limk=1，12kn→∞∴由夹挤准则可得：原式=max{a}。■i1≤i≤k第2页共23页2012年暑期强化班讲义一元函数微积分、常微分方程练习题参考解答何先枝2.〖解〗法1（夹挤准则）111∵−1<[]≤，xxx11∴①当x<0时，1−x>x[]≥1，而lim(1−x)=1，由夹逼准则可得limx[]=1；−−xx→0x→0x11②当x>0时，1−x

12、1，而lim(1−x)=1，由夹逼准则可得limx[]=1。++xx→0x→0x1于是，由极限与左右极限关系可得：limx[]=1。x→0x法2（有界函数与无穷小积）11111111∵x[]=x([]−+)=x([]−)+1，其中

13、[]−

14、<1（有界函数），xxxxxxxx111∴limx[]=limx([]−)+1=0+1=1。■x→0xx→0xx――――――――――――――――――练习8――――――――――――――――――1.〖解〗∵x=2+2+L+2+2>2+2+L+2=x，∴{x}单调增加。n144442444431

15、442443n−1nnn−1∵x=2+2+L+2+2<2+2+L+2+2=2，∴{x}有上界。n14444244443144424443nnn于是，由单调有界准则可得：{x}收敛。n设limx=a，则在关系式x=2+x中求极限可得：a=2+a，解得：a=2，nnn−1n→∞故limx=2。