固体力学实验讲义-动力学实验部分.pdf

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1、固体力学实验讲义动力学实验部分黄清华北京大学力学与工程科学系2001年12月Dept.ofMech.&Engr.Sci.,PekingUniv.固体力学实验讲义动力学实验部分2001年12月1振动信号处理基础一信号的分类能量和处理方法1分类按连续性连续型/离散型按持续时间无限长/有限长按周期性周期/非周期按变量维数一维/多维按信号存在的可能性确定性/随机性2能量¥2连续型x(t),-¥

2、r变换时频域短时Fourier变换STFT小波变换等二Fourier变换与信号的频域分析1信号的数学抽象数学框架泛函分析中的线性赋范空间和内积空间如¥ì2ü(1)l2=íx=[x1,x2,L];åxi<¥ýîi=1þ¥¥2定义内积=åxihi范数x=åxi=i=1i=1b2(2)L(a,b)=x(t);x(t)dt<¥2{òa}bb2定义内积=òx(t)y(t)dt范数x=òx(t)dt=aa定义上述内积和范数后lL(a,b)成为完备的内积空间Hilbert空间这样在空间lL中22222的范数的平方·可以

3、表示能量对无穷维Hilbert空间中的归一化正交系{e,e,L}可以定义某元素x关于{e,e,L}的广义Fourier1212¥级数åei此级数是收敛的若对任一元素x此级数均收敛到x则{e1,e2,L}为完全的归一化i=1正交系由此有极为重要的Parseval公式¥22å=x1-1i=1在信号处理中常用的L中的完全归一化正交系有正/余弦函数系指数函数系等22Fourier积分变换Fourier积分与Fourier级数是近代分析数学的中心内容之一也是众多科学技术领域如微分方程信号和图像处理等里最重要的数学工具之一思想将函数

4、信号表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加从而将原来对时域或空间域里的函数的研究转化为在频率域里对这些叠加的权系数即Fourier变换的研究Dept.ofMech.&Engr.Sci.,PekingUniv.1固体力学实验讲义动力学实验部分2001年12月若x(t)绝对可积即x(t)ÎL(-¥,¥)以x(t)«X(w)表示Fourier变换对X(w)又称为x(t)1的频谱¥x$()X()x(t)e-jwtdtw=w=ò1-2-¥¥¥1jwtj2pftx(t)=òX(w)edw=òX(f)edf1-32p-¥-¥如sinwt«-jp[d(w-w)

5、-d(w+w)]1-4000coswt«p[d(w-w)+d(w+w)]1-5000Fourier变换的一个重要性质卷积定理x(t)×y(t)«X(w)*Y(w)x(t)*y(t)«X(w)×Y(w)1-6Parseval恒等式表示时域与频域中的能量相等¥¥¥2122òx(t)dt=òX(w)dw=òX(f)df1-72p-¥-¥-¥自功率谱密度定义为自相关函数的Fourier变换¥-jwtS(f)=S(w)=R(t)edt1-8xxòx-¥¥1jwtR(t)=S(w)edw1-9xòx2p-¥自相关函数对有限功率信号定义为T/21R(t)=x

6、(t)x(t+t)=limx(t)x(t+t)dt1-10xòT®¥T-T/2¥-jwt*S(w)=R(t)edt=X(w)X(w)1-11xòx-¥*对实信号X(-w)=X(w)所以S(w)关于原点对称由于S(w)定义在(-¥,¥)上的故称为xx双边功率谱密度实际应用中一般只考虑非负频率为此定义单边功率谱密度为ì2Sx(w),w³0Gx(w)=í1-12î0,w<0根据功率谱密度曲线的特点可将随机信号大致分为宽带和窄带两类特别的对S(w)=SS为x00常数称为白噪声3Fourier级数对L(0,T)中的任何一个周期为T的函数即平方可积函数x(

7、t)都可展开成Fourier级数2¥j2pnt/Tx(t)=åcne1-13-¥T1-j2pnt/Tc=x(t)edt1-14nòT0Parseval恒等式T¥122(x(t)dt=c1-15òånT0-¥对1-13作Fourier变换利用ej2pf0t«d(f-f)0Dept.ofMech.&Engr.Sci.,PekingUniv.2固体力学实验讲义动力学实验部分2001年12月¥nX(f)=åcnd(f-)1-16n=-¥Tn1可见周期函数的频谱是离散的线谱谱线位于等距点(n=0,±1,L)上间距由信号的基本周期TT1T确定即除了可能含有

8、的直流分量(n=0)外周期信号由基频为的谐波及其整数倍高次谐波叠加而T得4离散Fourier变换DFT对一个非周期函数x(t)可以将它以给定周期T作周