空集详细讲解.doc

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1、空集一Φ中含有什麽空集的定义就是不含任何元素的集合。二Φ与{Φ}是什麽关系Φ是不含任何元素的符号。{Φ}是只含一个元素Φ的单元素集，虽然Φ中没有元素，但作为集合来说，{Φ}是含有一个元素Φ的，所以Φ€{Φ}。其次，依规定：“空集是任何集合的子集”，所以Φ{Φ}，{Φ}是非空集合，根据“空集是任何非空集合的真子集”，又可得出Φ{Φ}。由此可见，这里有一个有趣的现象，在Φ与{Φ}之间，我们可有四个符号€，，中的任意一个把它们连接起来，既有：Φ€{Φ}，Φ{Φ}，Φ{Φ}，Φ{Φ}。但不能用“=”连接三Φ与{0}的关系{0}是

2、含有一个元素的集合。Φ是不含任何元素的集合，因此有Φ{0}或Φ{0}不能写Φ={0}，Φ€{0}。四Φ与0的关系0是一个元素，Φ是不含任何元素的集合。我们看一个判断题，判断正否：（A）0=Φ（B）0Φ（C）0€Φ（D）0Φ上面四个答案中，只有（D）是正确的。五Φ的应用这里主要通过一些例题来说明Φ在题中的作用。例1：已知A={X

3、-1

4、漏掉，从而产生错误。例2：已知集合P={X∣X2+X-6=0}Q={x∣ax+1=0}满足QP，求a所取的一切值。解：因P={x

5、x2+x-6=0}={2，-3}当a=0时，Q={x∣ax+1=0}=Φ，QP成立又当a≠0时，Q={x∣ax+1=0}={-1/a}要QP成立，则有-1/a=2或-1/a=-3，即a=-1/2或a=1/3综上所述：a=0或a=1/3或a=-1/2评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论。本题易漏掉a=0，ax+1=0无解，即Q为空集情况，而当Q=Φ时，满足QP。例3：设A={0，1}

6、，B={x∣xA}，则A与B应具有何种关系？解：因A={0，1}B={x∣xA}，故x为Φ，{0}，{1}，{0，1}。即{0，1}是B中一元素，故A€B评述：本题是集合中包含集合，A集合对集合B来说只是一个元素，本题也易漏掉x=Φ这个结论。综上所述，我们应该对Φ有一个详细了解，它不同于其他普通意义下的集合，是单为运算的简化，统一和表达的需要而引进的特殊记号。只要有集合的地方，就会有它的应用，在应用过程中记注这两句话：“Φ是任何集合的子集”，“Φ是任何非空集合的真子集”这样在解答集合问题时就不会漏掉结论。