2012考研必备 高等数学 难点精讲.pdf

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1、2012考研必备高等数学难点精讲内部使用Youstupidcunt!cunnilinguspenisvagina第八章曲线积分与曲面积分(14学时）®本章将积分的概念推广到积分区域为一段曲线或一块曲面的情形，从而得到曲线积分与曲面积分。与重积分类似，它们是定积分的某些特定和式的极限在另一范畴的深化和推广。®曲线积分与曲面积分各分为两类。它们都有鲜明的物理意义，要掌握好曲线积分与曲面积分的概念，其关键在于掌握好它们的物理意义。学习本章须弄懂基本概念，掌握性质，熟练运算。熟知两类曲线积分与两类曲面积分之间的联系。特别要掌握第二类曲线积分及第二类曲面积分与重积分之

2、间的关系，即格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。本章的具体要求如下：®理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。®会计算两类曲线积分。®掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。®了解两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）、斯托克斯（Stockes）公式并会计算两类曲面积分。®了解散度、旋度的概念及其计算方法。®会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。81−第一类曲线积分－－对弧长的积分引例柱面的面积。1引例曲线形构件的质量。2曲线，线密度Lρ(x,y),

3、求质量M.[]分析采用元素法：分割－近似－求和－逼近解：Δ≈M,ρξη()ΔS,MM=Δ∑,iiiiin⇒=Mlim∑ρξη(),ΔSiiiλ→0i1=定义：第一类曲线积分教材()180页。解释五个问题：b∫f(x)dx1.f(x,y)ds∫a之区别。L∫∫f(x,y)dσD2.f(x,y)ds,vv∫∫表是闭曲线LLL3.几何意义：柱面面积A=∫h(x,y)dsL物理意义：构件质量M=∫ρ(x,y)dsL4.特别地，∫1ds⋅=u(L)－曲线的弧长LL5.性质（线性性质，可加性等）教材181页。第一类曲线积分的计算法⇒转化为定积分⎧xx=(t)1.L由参数

4、方程给出：L:⎨(αβ≤≤t)⎩yy=(t)β'2'2'2'2ds=+xydt,f(x,y)ds=f[x(t),y(t)]x+ydttt∫∫ttLα⎧xx=(t)⎪2.推广到空间曲线Γ=:y⎨y(t)⎪⎩zz=(t)β'2'2'2f(x,y,z)ds=+f[x(t),y(t),z(t)]xy+zdt∫∫tttTα⎧xx=3.L由直角坐标方程给出y=⇒y(x)⎨⎩yy=(x)'2ds=+1ydxb'2f(x,y)ds∫∫=+f[x,y(x)]1ydxLa2例计算1∫yds,其中是由抛物线Ly=x介于点，与点，之()()0011L间的一段弧。22222例2计算∫

5、R-x-yds，其中为上半圆弧Lx+=yRx,y≥0.L2⎧xR=cosϕ[]分析L参数方程表达式：⎨⎩yR=cosϕsinϕ例求半径为中心角为3R,2α的均匀物质圆弧对于其对称轴（选择坐标系）的转动惯量。⎧xR=cosϕ解：适当选择坐标系⎨(-αϕα≤≤)⎩yR=sinϕα22222Ix==∫∫yρ(x,y)dsρϕϕϕRsin()-Rsin+()RcosdϕL-αα323==ρRsin∫ϕϕρdR(-sincos)ααα-α222例4计算曲线积分∫()x++yzds,其中为螺旋线Γx=acost,Γy==asint,zkt上相应于从到t02π的一段弧。2

6、22⎧xyz1++＝2例计算5v∫xds,其中为曲线Γ⎨.⎩xyz0++=Γ222解：∵vvv∫∫∫xds==ydszdsΓΓΓ22122∴=+vv∫∫xds()xy+zds3ΓΓ112==v∫dsu()Γ=π333Γ222⎧x++=yz12注意：当∫∫xd,Dσ为由⎨时⎩z0=D不能用本题所用方法。复习：178-186页，预习：187-195页习题：（8-1186页）2(1)(2)(3)(5),382−−第一类曲面积分−对面积的曲面积分M=⇒∫∫ρρ(x,y)dsM=∫(x,y,z)dsL∑定义：教材187页第一类曲面积分计算法：设曲面：∑z=∑z(x,y

7、),在xoy平面上投影区域为D:(x,y)D∈xyxy将曲面积分∫∫ρ(x,y,z)ds⇒二重积分∑1.f(x,y,z)⇒f[x,y,z(x,y)]222.ds=++1zzdσxy3.D∑⇒xy22故知f(x,y,z)ds=+f[x,y,z(x,y)]1z+zdσ∫∫∫∫xy∑Dxy1例计算曲面积分1∫∫ds,其中是求面∑z∑2222x++=yza夹在平面z=h与z=a(0<

8、-yaz===,z,dsdσxy222zza-x-y